Page 276 - 1975_matematika-izium

27 1
43
2 .......
.
2
В эквивалентноfl форме. р "'" т R , или -- Р ""' ....... "2 R ' 9ТО
9
,утверждение содержится в книге Д. О. Шклярского. Н. Н. Ченцова,
И. М. Яглома «Геометрические неравенства и задачи на макснмум
и минимум» (Библиотека математического кружка, вью. 12, М.,
tIЗД-ВО «Наука», 1970, задачи 95, в 11 97). Впрочем, приведенное там
доказательство достаточно длинно.
1 1 8. Интересно, я в ляется ли это решение единственным? (Ре­
шения, получающиеся друг из друга круговым пересаживанием или
зерка.%ноЙ симметрней, различными не считаются.)
122. См. формулы Виета.
I
129. Без дополните.%НЫХ пояснений это рассуждение ничем не
лучше с.'1едующего классического парадокса.
Пусть
S = I - I + I - I + . . . = ( 1 - 0 + ( 1 - 1 ) +
• . . = 0 + 0 + • . . = 0 .
Тогда
I - S = I - ( I - I + . . . ) = 1 - 1 + . . . = S .
Поэтому
I = 2 S.
Следовательно,
)
(я нарочно сохранил те же самые слова . В чем же дело? КОllечно,
в СХОДlIМОСТИ ряда, определяющего М, и расходимости ряда, опре­
деляющего S. Первую можно установить, польэуясь известными при­
знаками сходимостн (например, Да�амбера) или заметив, что ряд
для М мажорируется Ueсконечно убывающей геометрической про­
гресспей: Tal( I(al( n < 2n при n ;;;а. 1, то
1 n 2 �
з + ' " + зrr + " ' < 3 + ' " + зrr + ' " = 2 .
140. В трехгранном угле сумма двух плоских углов всегда
больше третьего. '
150. Логика этой фразы не совсем понятна. Из напнсанного да­
лее уравнения решение х = k + т получается мгиовенно.
151. c� = 20 = 8 граней + 12 внутри октаэдра.
153. 1. Если одно нз чисед р, q, , четно, то есть равно 2, то
N � 2 . 47 • 47 < 2 . 50 . 50 = 5000. По условию же существует не
менее 7560 чисел, меньших, чем данное.
2. Кроме 1 1 и 19, других простых чисел < 22, квадрат которых
кончается единицей, нет. Поскольку в условии не сказано, что р, q.
, должаы быть различными, следует испытать еще две возможно­
сти: р = q = 1 1 и Р = q = 19. Случай N = 4з • 1 1 • 1 1 = 5203 с.'1е­
дует отбросить по той же причине, что и выше N = 2 . 47 . 47. Ос­
таются два конкурента: приведенное Триггом N = 1 1 . 19 · 4 3 =
= 8987 и N = 19 . 1 9 43.
•
Однако это не самое существенное; из наших рассуждений ии­
как не следует, что хотя бы одно из этих чисел действительно яв­
ляется решением задачи: вполне возможно, что эта задача неразре­
шима. Кстати, она 11 была бы неразрешимой, если бы в условии го-
279