Page 273 - 1975_matematika-izium

постоянной. Условне теплового равновесия состоит в том, что тем­
пература каждого эдемента равна среднему арифметнческому тем­
ператур всех его соседей. Когда мы наложим четыре листа друг на
другз. то элементы совместятся по четыре, прнчем совместятся как
раз те элементы, которые получаются поворотом листа на 900 отно­
сительно центра. После совмещения условие теплового равновесия
между четвертым элементом и его сосеДЯМII не нарушится, а внутри
его произойдет перераспределение тепла, так что в резу.ТJbтате тем­
пература станет раDНОЙ среднему арифметнческому температур всех
четырех составляющнх его Э.1ементов. Д.'1я элементов, при надлежа­
ЩIIХ краю лнста, это среднее равно 250, а так как у .ТJ иста с по­
стоянной температурой на краю равновесное состояние будет тогда,
когда весь лист имеет ту же температуру, то среднее во всех точках
равно 250.
В частностн, и Д.ТJя ПоНи мания авторского решеиия это очень су·
щественно: при повороте квадратного листа центр его остается на
месте и потому центральный Э.ТJемент совмещается четырежды сам
с собой. Среднее аРllфмеТiNеское четырех ОДlIнаковых чисел есть то
же ЧIlс.ТJО.
Если приведенное рассужденпе не УДОВ.1етворяет приверженцев
математической строгости, то прежде всего им придется перевести
на аккуратный математический язык самое постановку задаЧII.
Обычно это делается в терминах так называемой задаЧII ДIlРllхле
для уравнення Лапласа. для тех, кто сумеет это сделать, не пред­
ставит труда перевести на тот же язык и наше физическое рассу­
ждение. В награду за усилия OНlI получат также равенство
QO (_ 1 ) k I
.!. " h (2k + I ) n = 4"'
n L.." с
k=O 2
83. А нельзя ли усмотреть, что остатка не будет, не ПРОНЗDОДЯ
самого делення? Отбросиn О и запятую, которые прн выполнении
деления существенной роли не IIграют, запишем наше ЧIIСЛО в виде
N = 1 4 2857 ( 1 + 106 + . . + 10Зб) =
.
( I
= 142857 [7 + ( 108 - 1 ) + . . . + ОЗ8 - 1 ) ].
в квадратных скобках каждое. слагаемое де.'llIТСЯ на 7, так как все
OHII, начиная со второго, делятся на IOб - 1 = 142857 • 7.
84. Справедливо тождество
2
аЬС = 1 [(а + Ь + С)З + ( а3 + ЬЗ + с3) - 3 ( а + Ь + с}(аЧЬ 2 + с 2)]
б
(аналогичное тождество для четырех переменных встреТJ\ЛОСЬ в
комментарии к задаче 3).
89. Конечно, доказываемое утверждение общеизвестно, и его
можно доказать и без теоремы Чевы. Эта последняя, впрочем, дос­
таточно I<расива и позволяет получить много ннтересных следствпiI.
Вот ее формулнровка (сразу для прямой и обратной теорем) .
Д.'1я того чтобы прямые АА', ВВ', СС', соеДИllяющие вер­
ШIIНЫ треугольника АВС с точками А'. В', С', лежащимп со­
ответственно на прямых ВС, ·СА и А В , пересека.ТJНСЬ в одной

276