Page 275 - 1975_matematika-izium
P. 275
1 J4. Нужно сделать .'IJiНеЙное преобразование
+
х ' = + у � '
2
2
х
, 43 ,уз
у = -- У + -6- z,
2
z = , - 46 з - z .
Хуже обстоит lle.qo со вторым из предлагаемых способов, так
как из праВilЛЬНЫХ тетраэдров нельзя составнть кристаллической
структуры. В самом деле, возьмем на ребре 1 одного из тетраэдров
точку Р, которая не является ни вершнной одного нз тетраэдров,
нн точкой (строгого) пересечения никаКIIХ двух ребер. Такая точка
всегда существует. Вблизи этой точки ребро 1 будет общим ребром
двугранных углов нескольких правильных тетраэдров. ЭТII углы
JU\бо заполняют всю окрестность ТОЧЮI Р, если она не является вну
тренней ни для одной из граней какого-либо тетраэдра, либо за
ПОЛIIЯЮТ по,'упространство, пр"мыкающее к той грани, для которой
Р - внутренняя точка. В первом случае двугранный угол праВlmь-
3600 1800
ного тетраэдра должен быть равен --, во втором - --, где
n n
n - целое число. Но этот yro.q q> легко вычислнть, причем оказы
вается, что
3600 . I 3БО"
-6- = f ,()" < q> = 2 агс slП 3 < 72" = - 5-'
Поэтому кристаллической структуры, составленной из одних пра
ВНЛЫIЫХ тетраэдров, не существует.
J 16. Ненскушенному читателю в этом месте, возможно, и ое
ЛрНllет в rO.qOBY вопрос: «А почему, собственно говоря, это оче
видно?», знаток математического анализа сразу сообразит, что не
прерывная функция '(А, В, С) = sin А + sin В + siп С, определен
ная на "�MKHYТOM ограниченном, а стало быть, и компактном мно
жестве
достигает своего максимума по теореме Вейерштрасса, но ЧlIтатель,
не прннадлежащий ни к одной из этих двух каrегорий, может по
желать обойтись чисто геометричеСКИ�flt средствамн, без ссылкн на
эту теорему
По теореме сннусов
а Ь с
sin А sin В sin С '
--- :::о --- = -- = 2R
где 2R - диаметр описаиного круга. Поскольку нас ннтересуют
только углы, ТО мы можем положить 2R = 1. Теперь синусы углов
будут равны длинам противоположных сторон. и МЫ приходим К за
даче: доказать, что среди всех треУГОЛЬНIIКОВ, вписанных в данную
окружность, равносторонннй имеет иаибольший периметр 2р =
= а + Ь + с .
278