Page 275 - 1975_matematika-izium
P. 275

1 J4.  Нужно  сделать  .'IJiНеЙное преобразование

                                     +
                           х ' = +  у   �  '
                                    2
                                        2
                                х
                          ,   43      ,уз
                         у  = -- У +  -6- z,
                               2
                              z  = ,  -  46  з -  z .
          Хуже  обстоит  lle.qo  со  вторым  из  предлагаемых  способов,  так
       как  из  праВilЛЬНЫХ  тетраэдров  нельзя  составнть  кристаллической
       структуры.  В  самом  деле,  возьмем  на  ребре  1  одного  из  тетраэдров
       точку  Р,  которая  не  является  ни  вершнной  одного  нз  тетраэдров,
       нн  точкой  (строгого)  пересечения  никаКIIХ  двух  ребер.  Такая  точка
       всегда  существует.  Вблизи  этой  точки  ребро  1  будет  общим  ребром
       двугранных  углов  нескольких  правильных  тетраэдров.  ЭТII  углы
       JU\бо  заполняют  всю  окрестность  ТОЧЮI  Р,  если  она  не  является  вну­
       тренней  ни  для  одной  из  граней  какого-либо  тетраэдра,  либо  за­
       ПОЛIIЯЮТ  по,'упространство,  пр"мыкающее  к  той  грани,  для  которой
       Р - внутренняя  точка.  В  первом  случае  двугранный  угол  праВlmь-
                                     3600              1800
       ного  тетраэдра  должен  быть  равен  --,  во  втором - --,  где
                                       n                n
       n - целое  число.  Но  этот  yro.q  q>  легко  вычислнть,  причем  оказы­
       вается,  что
                 3600               .  I        3БО"
                -6- = f ,()"   <  q> = 2 агс slП 3  <  72" = - 5-'
       Поэтому  кристаллической  структуры,  составленной  из  одних  пра­
      ВНЛЫIЫХ тетраэдров,  не существует.
          J 16.  Ненскушенному  читателю  в  этом  месте,  возможно,  и  ое
       ЛрНllет  в  rO.qOBY  вопрос:  «А  почему,  собственно  говоря,  это  оче­
       видно?»,  знаток  математического  анализа  сразу  сообразит,  что  не­
       прерывная  функция  '(А, В, С)  =  sin А + sin В + siп С,   определен­
       ная  на  "�MKHYТOM  ограниченном,  а  стало  быть,  и  компактном  мно­
       жестве

       достигает  своего  максимума  по  теореме  Вейерштрасса,  но  ЧlIтатель,
       не  прннадлежащий  ни  к  одной  из  этих  двух  каrегорий,  может  по­
       желать  обойтись  чисто  геометричеСКИ�flt  средствамн,  без  ссылкн  на
       эту теорему
          По теореме сннусов
                        а      Ь      с
                      sin А   sin В   sin С   '
                      --- :::о  --- =  --  = 2R
       где  2R - диаметр  описаиного  круга.  Поскольку  нас   ннтересуют
      только  углы,  ТО  мы  можем  положить  2R =  1.  Теперь  синусы  углов
       будут  равны  длинам  противоположных  сторон.  и  МЫ  приходим  К  за­
      даче:  доказать,  что  среди  всех  треУГОЛЬНIIКОВ,  вписанных  в  данную
      окружность,  равносторонннй  имеет   иаибольший  периметр  2р  =
       =  а  +  Ь  +  с .
      278
   270   271   272   273   274   275   276   277   278   279   280