Page 121 - ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ IV-VI классы

29. Аксиома
В переводе на русский язык agicopa означает предложение,
достойное уважения, бесспорное (второе значение — почет, ува­
жение, авторитет). Впервые аксиомы были введены древнегре­
ческими учеными. Процесс отбора аксиом, положенных в основу
построения геометрии как науки, проходил в продолжение не­
скольких столетий. Известно, что еще до Евклида ряд геометри­
ческих положений доказывали Фалес, Пифагор и др. По-видимо­
му, при обосновании доказательств они явно или в скрытом виде
опирались на некоторые положения, принятые ими без доказа­
тельств, т. е. на аксиомы.
Первую попытку привести в систему накопленные сведения
по геометрии сделал Гиппократ из Хеоса — ученик Пифагора. Им
была написана книга «Начала». К сожалению, эта работа до нас
не дошла. Вероятно, были попытки упорядочить сведения по гео­
метрии и другими учеными, но до нас не дошедшие.
Самой древней рукописью по геометрии, дошедшей до нас, яв­
ляются «Начала» Евклида. Надо полагать, что ее длительному
сохранению способствовало высокое качество изложения геомет­
рических сведений.
В «Началах» Евклида каждое утверждение обосновывается
ссылкой на предшествующие положения, а эти последние в свою
очередь вытекают как следствия из более ранних «истин» и т. д.
Таким образом, доказательства всех положений построены как
на фундаменте на небольшом числе первоначальных утвержде­
ний, принятых без доказательств. Эти утверждения, названные
автором аксиомами и постулатами, описывали свойства основ­
ных понятий — точки, прямой, плоскости,
Некоторое время существовал взгляд, что аксиома — это оче­
видная, установленная на практике «истина», не требующая до­
казательств. Этот взгляд далек от научного понимания аксиомы.
Аксиомы принимают без доказательств не потому, что они оче­
видны, а потому, что для их доказательств еще нет никакого
исходного материала. Они выступают как основные исходные по­
ложения.
В настоящее время в науке считают: аксиома — предложение,
которое принимают без доказательств как основное, первона­
чальное, а все последующие положения (теоремы) доказывают,
ссылаясь в конечном счете на небольшое число аксиом, поло­
женных в основу теории.
Ряд строго отобранных аксиом определенной теории при­
нимают за фундамент, на котором строят и развивают эту те­
орию.
Анализ системы аксиом, предложенных Евклидом, продол­
жался столетия. Эта работа многих геометров была завершена
Д. Гильбертом, который создал полную и непротиворечивую си­
стему аксиом геометрии Евклида. Однако и эту систему аксиом

120