Page 83 - ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ IV-VI классы

В древности и почти на всем протяжении средних веков под
числом понималось только натуральное число, собрание единиц,
полученное в результате счета. Отношение же, будучи результа­
том деления одного числа на другое, не считалось числом.
Но уже в трудах среднеазиатских математиков Омара Хайя­
ма (1048—1131) и Насирэддина ат-Туси (1201—1274) высказа­
на мысль о том, что отношение есть число и что над отношения­
ми можно производить все действия, которые производятся над
целыми числами.
Явно новое определение числа было дано впервые в XVII в.
гениальным английским ученым Исааком Ньютоном. В своей
«Всеобщей арифметике» он писал: «Под числом мы понимаем
не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение
какой-нибудь величины к другой величине того же рода, приня­
той нами за единицу».
Это определение включает как целые, так и дробные числа 1.

22. Пропорции в Древней Греции
Слово «пропорция» происходит от латинского proportio, озна­
чающего вообще соразмерность, определенное соотношение час­
тей между собой. В древности учение о пропорциях было в боль­
шом почете у пифагорейцев. С пропорциями они связывали
мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в
музыке и гармонии во вселенной. Некоторые виды пропорций
они поэтому называли «музыкальными» и «гармоническими».
В IV в. до н. э. общая теория пропорций для любых величин
(соизмеримых и несоизмеримых) была создана трудами древне­
греческих ученых, среди которых выдающееся место занимали
Теэтет и Евдокс. Эта теория подробно изложена в V книге «На­
чал» Евклида.
В VII книге «Начал» изложена теория отношений и пропор­
ций для целых чисел (и соизмеримых величин).
Из пропорции
а : b = с: d.

Евклид2 выводит следующие производные пропорции:
b : а = d: с (а + Ь) :Ь = (с + d)\ d
а: с = b :d (а — b): b = (с — d) :d
а: (а — Ь) = с :(с — d).
В 19-м предложении VII книги Евклид доказывает основное
свойство пропорции: произведение крайних членов равно произ­
ведению средних членов. Пропорциями пользовались для реше­

1 И действительные числа.
2 Этой современной записи Евклид, конечно, не знал, (См. гл. 1, § 2; 21.)
82