Page 31 - УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

через центр круга. Если какой-либо объект удовлетворяет обоим
этим свойствам, то его можно назвать диаметром круга; если же
он не удовлетворяет хотя бы одному из этих свойств, то это не
диаметр круга.
Заметим, что в любом определении имеется элемент произво­
ла: то, что, например, хорду круга, проходящую через центр, на­
зывают диаметром, является чисто условным, ибо мы могли бы ее
назвать и каким-то другим именем. Произвольность проявляется
и в выборе свойств, включаемых в определение. В данном слу­
чае мы могли бы включить в определение диаметра другие свойст­
ва, например такие: I) диаметр — это отрезок, соединяющий
точки окружности; 2) диаметр — это отрезок, проходящий через
середину хорды; 3) диаметр — это отрезок, перпендикулярный
этой хорде. Тогда определение диаметра было бы таким: «Д иа­
метр круга — это отрезок, соединяющий точки окружности и
проходящий через середину какой-либо хорды перпендикулярно к
ней».
Приняв то или иное определение данного математического
понятия, мы приобретаем возможность логического выведения не­
посредственных следствий из этого определения по такой
с х е м е : «Если какой-либо объект А является объектом опре­
деляемого понятия, то он обладает всеми теми свойствами, кото-
тые указаны в его определении».
Например, если мы знаем, что некий объект А есть диаметр
крута и в качестве определения этого понятия было принято пер­
вое из указанных выше, то А есть хорда круга и А проходит через
центр.
Точно так же, если мы знаем, что некий объект А есть много­
член и многочлен определен нами как алгебраическое выражение,
представляющее собой сумму одночленов, то А есть алгебраиче­
ское выражение и А есть сумма одночленов.
Обратно, если нам известно, что некий объект А обладает
всеми свойствами, которые указаны в определении понятия, на­
зываемого именем 5, то мы можем назвать объект А именем В .
Например, если мы знаем, что объект А является хордой и А
проходит через центр круга, то А можно назвать диаметром круга.
Точно так же, если мы знаем, что А есть алгебраическое выра­
жение и А есть сумма одночленов, то А можно назвать многочле­
ном.
Однако ведь в содержание понятия входят много других
свойств соответствующих объектов, кроме указанных в опреде­
лении.
Поэтому, чтобы иметь достаточно полное представление о по­
нятии, надо знать не только его определение, но и другие, наи­
более важные свойства объектов этого понятия.
Тем более надо знать важнейшие свойства первичных (основ­
ных) понятий, ибо ведь им в математике вовсе не даются опреде­
ления. Свойства первичных понятий математики были установлены
30