Page 32 - УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

в процессе многовековой практической деятельности людей и при­
нимаются в математике без доказательства, т. е. без особого ло­
гического обоснования, их обоснованием служит человеческий
опыт. Эти принимаемые нами свойства первичных понятий назы*
ваются аксиомами (греческое слово, означающее значимое, до­
стойное уважения, принятое).
Вот п р и м е р ы аксиом из курса геометрии:
1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежа­
щие прямой, и точки, не принадлежащие прямой.
2. Через любые две точки можно провести прямую и только
одну.
3. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. И т. д.
Эти аксиомы указывают свойства понятий: «точка», «прямая»,
«плоскость» — и отношений между ними: «принадлежит», «раз­
бивает» — и служат косвенными определениями всех этих поня­
тий, А именно: мы называем точками, прямыми, плоскостями и
их отношениями: принадлежит, разбивает — такие объекты и их
отношения, которые удовлетворяют этим и всем другим аксиомам
геометрии.
В школьной арифметике и алгебре обычно аксиомы в явном
виде не формулируются, но, конечно, они имеются и там. Вот
примеры аксиом, которыми вы всегда пользуетесь в своих рас­
суждениях:
1. Единица есть натуральное число, предшествующее всем
другим натуральным числам.
2. З а каждым натуральным числом непосредственно следует
в натуральном ряду еще одно натуральное число.
3. Всякое число равно самому себе.
4. Если число а равно Ь, то и Ь равно а.
5. Если а равно b u b равно с, то а равно с. И др.
Эти аксиомы косвенно определяют (характеризуют) исходные
понятия: число, единица, натуральное число — и отношения
между ними: предшествует, следует, равенство и др.
Что касается важнейших свойств понятий, не являющихся
основными, для которых введено какое-то логическое определе­
ние, то в математике все эти свойства доказываются, т. е. выво­
дятся как логические следствия из определений, аксиом и ранее
доказанных свойств.
Эти доказываемые свойства определяемых понятий в матема­
тике называются по-разному. Большинство из них называются
теоремами. Более простые теоремы называются следствиями, неко­
торые называются признаками. Так, например, теорему: «Две
прямые, перпендикулярные третьей, параллельны» называют
следствием из предшествующих теорем об углах, образованных
при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, а
теорему: «Две прямые, параллельные третьей, параллельны
друг другу» — называют признаком параллельности прямых.
В арифметике и алгебре доказываемые свойства называются
31