Page 33 - УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

формулами, тождествами, правилами. Но как бы ни назывались
эти свойства, все они различаются лишь внешним образом, а по
'устройству, но составу они в основном одинаковы. А именно: раз­
вернутая формулировка всех этих математических предложений,
которые для простоты мы будем называть теоремами, состоит
из трех частей: 1) разъяснительной части, в которой даются назва­
ния объектов, рассматриваемых в данной теореме; 2) условие тео­
ремы — это указание тех свойств объектов, принимаемых за ис­
тинные. которые нам даны; 3) заключение теоремы — указание
тех свойств, наличие которых нужно доказать.
Рассмотрим, например, признак (теорему) делимости нату­
рального числа на 3: «Если сумма цифр числа делится на 3, то
и число делится на 3». Здесь первая часть — это название рас­
сматриваемого объекта: натуральное число; условие — сумма
цифр числа делится на 3; заключение — число делится на 3.
Другой пример: «Если у треугольника два угла равны, то
он равнобедренный». Здесь разъяснительная часть — треуголь­
ник, условие — два его угла равны, заключение — треугольник
равнобедренный.
В ряде случаев такое развертывание содержания теоремы
весьма трудно произвести. Возьмем, например, алгебраическое
тождество:
a2- b '2 = (a-\-b (а — ЬV
— Какие объекты здесь рассматриваются?
— Можно по-разному ответить на этот вопрос, но наиболее
подходящий ответ — алгебраические выражения.
— Что о них нам известно, дано?.. Обратите внимание на
левую часть тождества...
— Это выражение представляет собой разность квадратов
двух членов.
— Что же нам нужно доказать?
— Нужно доказать, что заданное выражение может быть
представлено как произведение суммы этих членов на их разность.
Следовательно, данное тождество можно сформулировать в
виде следующей теоремы: «Если алгебраическое выражение пред­
ставляет собой разность квадратов двух членов, то оно может
быть представлено в виде произведения суммы этих членов на
их разность».
Еще п р и м е р теоремы: «Через каждую точку прямой можно
провести перпендикулярную к ней прямую и только одну».
В этой теореме объектом служит некоторая прямая и точка,
условие состоит в том, что эта точка взята на прямой, заключе­
ние — существует прямая, проходящая через эту точку и перпен­
дикулярная к заданной прямой, притом такая прямая единствен­
ная. Или иначе: среди прямых, проходящих через данную точку,
имеется одна и только одна прямая, перпендикулярная к задан­
ной прямой.
32