Page 38 - УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

ваемой мысли (утверждения, суждения) из ранее доказанных или
принятых без доказательства мыслей (аксиом) по правилам логи­
ки без каких-либо ссылок на примеры или опыт. В других науках,
в житейских обстоятельствах мы для доказательства часто прибе­
гаем к примерам, к опыту. Мы говорим: «Смотри» — и это может
служить доказательством. В математике такой способ доказатель­
ства недопустим, ссылаться, например, на очевидные отношения,
иллюстрируемые чертежом, не разрешается. Математическое до­
казательство должно представлять собой цепочку логических след­
ствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее
доказанных теорем до требуемого заключения.
Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее
к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим
и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения должен быть конеч­
ным, и поэтому всякое доказательство в конце концов сводит
доказываемую теорему к исходным определениям и принятым
без доказательства аксиомам.
Следовательно, аксиомы служат не только для косвенного
определения первичных понятий, но и в качестве оснований для
доказательства всех теорем математики. Вот почему в числе ак­
сиом встречаются и такие, которые указывают особые свойства
понятий, имеющих логические определения. Так, например,
параллельные прямые в курсе геометрии являются не первичным
понятием, а определяемым. Однако одно из свойств параллель­
ных прямых, а именно что через точку, не лежащую на данной
прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой,
параллельной данной, мы вынуждены принять за аксиому, ибо,
как было установлено великим русским геометром Н. И. Лоба­
чевским (1792— 1856), а также немецким математиком К. Ф. Гаус­
сом (1777— 1855) и венгерским математиком Я. Больяй (1802—
1860), доказать это свойство параллельных прямых на основе
лишь остальных аксиом геометрии невозможно.
Всякий шаг доказательства состоит из трех частей:
1) предложение (аксиома, теорема, определение), на основе кото­
рого производится этот шаг доказательства; это основание шага
доказательства называется посылкой или аргументом; 2) логи­
ческое рассуждение, в процессе которого посылка применяется к
условиям теоремы или к ранее полученным следствиям; 3) логи­
ческое следствие применения посылки к условиям или ранее
полученным следствиям.
В последнем шаге доказательства теоремы в качестве след­
ствия получаем утверждение, которое необходимо было дока­
зать.
Покажем процесс доказательства на примере такой т е о р е-
м ы: «Диагонали прямоугольника равны».
В этой теореме нам дан произвольный (любой) прямоугольник.
Для того чтобы легче было рассуждать в процессе доказательства,
поступают следующим образом. Начертим вполне определенный
37