Page 40 - УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

для поиска доказательства теорем и решения задач. Вот некоторые
эвристические правила, которые полезно помнить:
1. Полезно заменять названия объектов, о которых идет
речь в теореме {задаче), их определениями или признаками.
Например, в рассмотренной выше теореме шла речь о прямо­
угольнике, и мы для доказательства использовали определение
прямоугольника.
2. Если можно, то нужно доказываемое положение раздробить
на части и доказывать каждую часть в отдельности.
Так, напримбр, доказательство теоремы: «Если в четырех­
угольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся
пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм» — можно
разделить на две части: сначала доказать, что одна пара про­
тивоположных сторон данного четырехугольника параллельна, а
затем доказать, что и вторая пара противоположных сторон так­
же параллельна.
Так следует поступать всегда, когда есть возможность дока­
зываемое утверждение разбить на несколько частей более простых
утверждений.
3. В поисках доказательства теоремы полезно идти с двух
сторон: от условий теоремы к заключению и от заключения
к условиям.
Например, нужно доказать такую теорему: «Если некоторая
последовательность такова, что любой ее член, начиная со второ­
го, является средним арифметическим предшествующего и после­
дующего членов, то эта последовательность — арифметическая
прогрессия».
Пойдем от условия теоремы. Что нам дано? Дано, что каждый
член последовательности, начиная со второго (обозначим его
а„, п ^ 2), есть среднее арифметическое предшествующего и

последующего членов, т. е. ап-\ и ая+ь Значит, верно такое ра­
венство:
= Ял-|-Ь°л+1 (1)

Теперь пойдем от заключения. А что нам нужно доказать?
Нужно доказать, что эта последовательность — арифметическая
прогрессия. А какая последовательность называется арифмети­
ческой прогрессией? Вспоминаем определение:
a„ — an-t+d, где п > 2 и d — постоянное число. (2)

Сопоставляем данное нам условие (1) с заключением (2).
Чтобы условие приняло форму заключения, надо преобразовать
так:
2a„ = a„-.i + an + i. (3)
Отсюда a„ — a„-i= a n + i—a„. (4)
Левая и правая части (4) обозначают одно н то же, а именно
39