Page 41 - УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

разность между двумя последовательными членами заданной по­
следовательности. Если в равенстве (4) п давать последовательно
значения 2 , 3 и т. д., то получим: ао — <1 = 0 3 — аг, затем
2

а-л— a? — a i — а$ и т. д. Следовательно, все эти разности равны
между собой, а это значит, что разность ап — а„~ i есть постоянное
число, которое можно обозначить буквой d:
Q н (Хп —1 d.

Отсюда получаем: an = an-\-\-d, а это значит, что согласно
определению (2 ) данная последовательность есть арифметиче­
ская прогрессия, что нам и надо было доказать.
Эту эвристику можно и так сформулировать: надо стараться
сблизить условие и заключение теоремы, преобразуя их или заме­
няя их следствиями.
Известен и ряд более частных эвристических правил, которые
применяются при поиске лишь некоторых теорем. Например,
такая эвристика: для того чтобы доказать равенство каких-либо
отрезков, надо найти или построить фигуры, соответствующими
сторонами которых являются эти отрезки; если фигуры окажутся
равными, то будут равны и соответствующие отрезки.
Изучая теоремы, нужно не просто запоминать их доказатель­
ство, а каждый раз думать и устанавливать, какимичметодами они
доказываются, какими эвристическими правилами руководствова­
лись при нахождении этих доказательств, как догадались (доду­
мались) до этих доказательств.
В ряде случаев для доказательства теорем используется осо­
бый прием, называемый «доказательством от противного» или
«приведением к нелепости».
Сущность этого приема заключается в том, что предполагают
несправедливость (ложность) заключения данной теоремы и дока­
зывают, что такое предположение приводит к противоречию с
условием или с ранее доказанными теоремами или аксиомами.
А так как любое утверждение может быть либо верным, либо
неверным (ничего другого быть не может), то полученное противо­
речие показывает, что допущение о ложности заключения теоре­
мы неверно и, следовательно, заключение верно, тем самым
теорема доказана.
Приведем п р и м е р .
Т е о р е м а . Две прямые, порознь параллельные третьей,
параллельны между собой.
Д а н о : а\\с, Ь\\с.
Д о к а з а т ь : а\\Ь (рис. 7).
~с Прямого (непосредственного)
__________ ____ ______ доказательства этой теоремы мы
6 ___^:=+М не знаем. Тогда докажем ее ме-
” тодом от противного.
Допустим, что заключение тео-
Рис. 7 ремы неверно, т. е. а непарал-
40