Page 42 - УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

лельна b. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. А так
как по условию каждая из этих прямых параллельна прямой с,
то получается, что через точку М проведены две прямые а и
Ь, параллельные одной и той же прямой с. А мы знаем по аксиоме
параллельности, что через точку вне прямой можно провести
не более одной прямой, параллельной данной. Пришли к про­
тиворечию с аксиомой. Это показывает, что наше предположение
о непараллельности прямых а и Ь неверно, следовательно, а\\Ь,
что и требовалось доказать.
Другой п р и м е р .
Т е о р е м а . Среднее арифметическое двух положительных
чисел не меньше (значит: больше или равно) среднего геометри­
ческого этих чисел.
Эту теорему можно так записать: (1), где а > 0 ,
Ь > 0. Ее можно доказать как прямым способом, так и способом
от противного. Докажем ее. способом от противного.
Для этого допустим, что она неверна, т. е. среднее арифметиче­
ское меньше среднего геометрического двух положительных чисел:
а + ь г—
—~—<л[аЬ. (2)
Умножим обе части (2) на 2 и, возвысив их в квадрат, получим:
о2 + 2а& + Ьг< АаЬ или а2— 2аЬ-\-Ь2 < 0 . По формуле квадрата
разности двух чисел получаем: (a — b f< .0.
В результате получили явную нелепость: квадрат некоторого
числа (о — Ь) отрицателен, чего быть не может. Следовательно,
предположение о неверности теоремы привело к противоречию,
что доказывает справедливость теоремы.
Таким образом, доказательство от противного некоторой те­
оремы состоит в том, что мы делаем допущение о неверности
заключения теоремы. Затем делаем ряд логических умозаключе­
ний на основе этого допущения, в результате которых приходим
к явно нелепому положению (к противоречию с условием или ранее
доказанными теоремами, аксиомами). Далее рассуждаем так: если
бы наше предположение было бы верным, то мы могли бы прийти
лишь к верному выводу, а так как мы пришли к неверному выводу,
то это означает, что наше предположение было ложным, следова­
тельно, тем самым мы убедились, что заключение теоремы верно.
Заметим, что если в результате рассуждений мы не получили
бы нелепости (противоречия), то это еще не означало бы, что
предположение верно. Иными словами, если исходить из верности
(справедливости) заключения теоремы и из этого предположения
получить верное (очевидное) следствие, то это еще не значит,
что предположение верно: может случиться, что исходная теорема
как раз неверна-.
На этом построены многие софизмы (умышленно ложно по­
строенные умозаключения, кажущиеся лишь правильными), этим
объясняются многие ошибки, допускаемые при решении задач.
4!