Page 43 - УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

Рассмотрим, например, такое равенство: а — b = b — a (1),
где а и Ь — произвольные числа. Допустим, что (1) верно, тОгда
возвысим обе части (1) в квадрат, получим:
а2 — 2 ab + Ь2 = Ь2 — 2 Ьа + а2.
Перенеся все члены в одну сторону и сделав приведение
подобных, придем к совершенно верному равенству: 0 = 0.
Но отсюда нельзя делать вывод, что и исходное равенство
(1) верно. Если бы мы такой вывод сделали, то пришли бы
к такому софизму: 2а = 26 или а = Ь, т. е. любые произвольные
числа равны между собой. Ошибка состоит в том, что из равен­
ства квадратов двух чисел не следует равенство самих этих
чисел. Например, (—2)2 = 22, но —2ф2.
Вот пример ошибочного решения задачи.
Задача. Решить уравнение 3-/к + -х + 2 = 0 (1).
'
Допустим, что (1) имеет решение и, следовательно, равенство
(1) верно. Тогда получим: ЗУ* = —х — 2.
Возвысим обе части в квадрат: 9л=л-2 + 4х+4 или х2 — 5* +
+ 4 = 0, отсюда а-1 = 4, д-2=1.
Можно ли найденные значения х считать корнями уравнения
(1)? Некоторые ученики отвечают на этот вопрос утвердительно,
ибо ведь все преобразования уравнения верные. И все же ни
одно из найденных значений х не является корнем (1). Это под­
тверждает проверка. Подставляя найденные значения х в (1),
получаем явно нелепые равенства: 12 = 0 и 6 = 0.
Таким образом вы должны учиться доказывать теоремы
(формулы), тождества и т. д., овладевать общими способами
поиска доказательства теорем (эвристическими правилами).
З А Д А Н И Е в
6.1. Составьте схему шагов доказательства следующих тео­
рем, указывая посылки, условия и следствия каждого шага:
а) В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к
основанию, является и высотой.

б) (a-f- bf = а2-\-2ab -+-Ь2.
в) Середины сторон выпуклого четырех­
угольника являются вершинами параллело­
грамма.
6.2. Найдите ошибку в доказательстве сле­
дующей заведомо ложной теоремы: «Катет
прямоугольного треугольника равен его гипо­
тенузе». (Рис. 8, на рисунке должен быть от­
резок СМ.)
Проведем в прямоугольном треугольнике
ABC (Z.C — 90°) биссектрису угла В и восста-
с о А вим в середине катета АС точке D перпенди­
куляр к нему. Очевидно, что они пересекутся в
Рис. 8 некоторой точке М. Из точки М проведем
42