Page 44 - УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ
P. 44
MF±BC и ME LAB (рис. 8).
Рассмотрим треугольники ВМЕ и BMF,
они оба прямоугольные по построению,
гипотенуза MB у них общая, а углы .
MBF и МВЕ равны, ибо ВМ — бис
сектриса угла В. Следовательно, д MFB =
= &МЕВ. Отсюда BE — BF (1) и ME —
= MF (2). & C M D = &AMD как прямо
угольные, у которых CD=AD и MD — об
щая. Тогда АМ = СМ (3). А А М Е= Рис. 9
= Д CMF как прямоугольные в силу
равенства (2) и (3). Отсюда AE = FC (4). Складывая равенства
(1) и (4), получим АВ = ВС, что и требовалось доказать.
6.3. Докажите теорему: «Два треугольника равны, если две
стороны и медианы к одной из них одного треугольника равны
двум сторонам и медиане к соответствующей стороне другого
треугольника» — и установите, какими эвристиками вы пользова
лись при поиске доказательства.
6.4. Какая ошибка допущена в доказательстве следующей
теоремы: «Если длины сторон треугольника пропорциональны
числам 3, 4 и 5, то треугольник прямоугольный»?
Д о к а з а т е л ь с т в о : обозначим стороны этого треугольни
ка а, b и с. По условию а = Ък, b — 4k и с — 5k. Тогда а2 + Ь2 =
= 9/z2 + 16fc2 = 25k2 — c2. Следовательно, по теореме Пифагора
этот треугольник прямоугольный.
6.5. Докажите методом от противного теорему: «Во всяком
треугольнике против большего угла лежит большая сторона».
6.6. Разберитесь в следующем софизме: «Хорда, не проходя
щая через центр окружности, равна диаметру».
Проведем в окружности диаметр А В и возьмем на окружности
произвольную точку С, отличную от А и В (рис. 9). Соединим
С с А. Обозначим середину АС через М и проведем через нее и
точку В прямую до пересечения с окружностью в точке D.
Соединим D с С. Рассмотрим треугольники АВМ и CDM. У них
AM — СМ по построению, Z.ABM = Z.DCM как вписанные
опирающиеся на одну и ту же дугу AD, Z.AMB = Z.CMD как
вертикальные, следовательно, по второму признаку равенства
треугольников эти треугольники равны. А в равных треуголь
никах против равных углов лежат равные стороны, следова
тельно, AB — CD.
6.7. В чем ошибка в следующих рассуждениях:
4:4 = 5:5 (I). Выносим за скобки общие множители:
4-(1:1) = 5• (1:1), а так как 1:1 = 1 и 4 = 2-2, то получаем
(2*2)-1=5-!, или 2*2 = 5.
6.8. Разберитесь в следующем софизме: «Положительное
число меньше нуля».
Действительно, пусть а > Ь (1), где а и b — положительные
числа. Умножим обе части (1) на Ь — а, получим: а(Ь — а )>
43
