Page 47 - УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

Другое дело, если за основание классификации алгебраичес­
ких выражений взять признак вида действий, с помощью которых
переменные соединены, т. е. действия, которые совершаются
над переменными. Этот общий признак весьма существенный,
и классификация по этому признаку будет правильной и полезной.
3. На каждом этапе классификации можно применять лишь
одно какое-то основание. Нельзя одновременно классифициро­
вать понятие по двум различным признакам. Например, нельзя
классифицировать треугольники сразу и по величине и по со­
отношению между сторонами, ибо в результате мы получим
классы треугольников, которые имеют общие элементы (например,
остроугольные и равнобедренные или тупоугольные и равно­
бедренные и т. д.). Здесь нарушено следующее требование к
классификации: в результате классификации на каждом этапе
получаемые классы (виды) не должны пересекаться.
4. В то же время классификация по какому-либо основанию
должна быть исчерпывающей и каждый объект понятия должен
попасть в результате классификации в один и только один класс.
Поэтому разделение всех целых чисел на положительные и
отрицательные неверно, ибо целое число нуль при этом не по­
пало ни в один из классов. Надо говорить так: целые числа де­
лятся на три класса — положительные, отрицательные и число нуль.
Часто при классификации понятий явно выделяются лишь
некоторые классы, а остальные только подразумеваются. Так,
например, при изучении алгебраических выражений обычно
выделяют лишь такие их виды: одночлены, многочлены, дробные
выражения, иррациональные. Но эти виды не исчерпывают всех
видов алгебраических выражений, поэтому такая классификация
является неполной.
Полная правильная классификация алгебраических выраже­
ний может быть произведена следующим образом.
На первой ступени классификации алгебраических выраже­
ний они делятся на два класса: рациональные и нерациональные.
На второй ступени рациональные выражения делятся на целые
и дробные. На третьей ступени целые выражения делятся на
одночлены, многочлены и сложные целые выражения.
Эту классификацию можно представить в виде следующей

46