Page 35 - УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

Поэтому в данном случае прямой теоремой можно назвать
только первое суждение.
Развернутая формулировка теоремы позволяет выразить ее в
понятиях необходимых и достаточных условий.
Обычно теорему можно представить как закономерную связь
двух суждений — условия А и заключения В в таком виде: если А,
то В. Если эта теорема верна, то в математике принято говорить
еще так: А есть достаточное условие для В, а В есть необходимое
условие для А.
Например, теорема: «Диагонали прямоугольника равны» —
состоит из таких суждений: А — четырехугольник есть прямоуголь­
ник, заключение В — диагонали четырехугольника равны. Тогда
развернутая формулировка этой теоремы будет такой: «Если
четырехугольник является прямоугольником, то его диагонали
равны».
Так как эта теорема верна, то связь между суждениями А и В
можно выразить еще и так:
1) Для того чтобы диагонали четырехугольника были равны,
достаточно, чтобы он был прямоугольником.
2) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником,
необходимо, чтобы его диагонали были равны.
Рассмотрим теперь обратное утверждение: если 5, то А, т. е.:
«Если в четырехугольнике диагонали равны, то он является
прямоугольником».
Очевидно, что это суждение неверно, ибо можно указать
четырехугольники с равными диагоналями, например равнобоч­
ную трапецию, которые не являются прямоугольниками. Поэтому
условие В не является достаточным для Л и Л не является необхо­
димым для В. В результате получаем, что А является достаточ­
ным, но не необходимым условием для В (для того чтобы диагона­
ли четырехугольника были равны достаточно, но необходимо,
чтобы четырехугольник был прямоугольником), а В является необ­
ходимым, но недостаточным условием для А (для того чтобы
четырехугольник был прямоугольником, необходимо, но недоста­
точно, чтобы его диагонали были равны).
Однако, если бы теорему сформулировать несколько иначе,
а именно принять за ее объект не четырехугольник, а паралле­
лограмм, т. е.: «Если параллелограмм является прямоугольником,
то его диагонали равны», то обратная ей теорема: «Если диаго­
нали параллелограмма равны, то он является прямоугольни­
ком» — будет верна. В этом случае условие А окажется не только
достаточным, но и необходимым для заключения В и В окажется
не только необходимым условием для А, но и достаточным, т. е.:
1) Для того чтобы диагонали параллелограмма были рав­
ны, необходимо и достаточно, чтобы он являлся прямоуголь­
ником.
2) Для того чтобы параллелограмм был прямоугольником,
необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были равны.
34