Page 86 - УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

т. е. находят численную величину их массы, а затем сравнивают
полученные числа, то это уже способ опосредственного сравнения.
Заметим, что два объекта можно сравнивать не по одному
какому-то свойству (признаку), а, как правило, по разным и
многим признакам (основаниям сравнения). Например, треуголь­
ники можно сравнивать по площади, по периметру, по виду уг­
лов (сравниваемые треугольники могут быть оба остроугольными
или один из них остроугольный, а другой тупоугольный и т. д.),
по соотношению сторон (например, один из них равнобедрен­
ный и т. д.) и еще по другим основаниям.
Сложнее сравнивать алгебраические объекты: многочлены,
уравнения, тождества, функции и т. д. Так, сравнивая между со­
бой многочлены, можно лишь установить, различаются ли они
по числу переменных или по наивысшей степени переменных.
Можно, конечно, их сравнить и по тому, какие буквы входят в
эти многочлены: одни и те же или разные. Но это различие не­
существенное, ибо, например, многочлены х2-\-ху-\-у2 и а2 +
4-ab-\-b2 существенно не различаются: по сути дела это один и
тот же многочлен.
Как видим, сравнение лежит в основе классификации объек­
тов, а измерение есть способ сравнения, и в то же время само
измерение производится с помощью сравнения измеряемого
объекта с единицей измерения.
В основе решения большинства задач также лежит сравнение.
А многие задачи прямо связаны со сравнением. Вот пример такой
задачи.
Задача. Хорда АВ окружности, не проходящая через центр,
разделена пополам в точке М. Докажите, что любая другая хор­
да, проходящая через точку М, больше хорды АВ.
Р е ш е н и е . В данном случае мы не можем непосредствен­
но сравнить отрезки АВ и CD произвольной хорды, проходя­
щей через точку М, путем наложения одного их этих отрезков на
другой (рис. 24). Значит, нам нужно их сравнить опосредствен-
но. Как же это можно сделать? Способ измерения здесь не под­
ходит, ибо мы должны сравнить отрезок АВ не с одним каким-то
определенным отрезком, а с любым, являющимся хордой окруж­
ности, проходящей через точку М. Значит, мы должны исполь­
зовать какие-то теоремы о сравнении отрез­
ков. Какие теоремы такого характера мы
знаем? Имеются теоремы о сравнении сто­
рон треугольников, например что в треуголь­
нике против большего угла лежит и большая
сторона. Но в данном случае нам нужно D
сравнить не просто отрезки, а хорды окруж­
ности. А что мы о них знаем? Вспоминаем
такое их свойство: чем хорда окружности
ближе к центру, тем она больше. Тогда
найдем расстояние сравниваемых хорд АВ Рис. 24
85