Page 84 - УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

а по каким они различны (неодинаковы). Если же объекты таковы,
что они вообще не имеют общих свойств, то их и сравнивать нель­
зя. Например, треугольник и многочлен не имеют, видимо, ка­
ких-либо общих свойств, а поэтому их и сравнивать нельзя. Тре­
угольник можно сравнить с другим треугольником, с многоуголь­
ником, многочлен можно сравнить с другим многочленом, но меж­
ду собой треугольник и многочлен сравнивать нет смысла.
А сравнивать математические объекты нужно, ибо только
в сравнении мы познаем их наиболее важные свойства, изучаем
их. Сравнивая треугольники между собой, мы устанавливаем, ка­
кие виды треугольников могут быть, сравнивая их с другими гео­
метрическими фигурами, мы выявляем их особые свойства,
например их жесткость: из трех отрезков можно образовать один
и только один треугольник (если, конечно, эти отрезки удовлетво­
ряют соотношению, что каждый из них меньше суммы двух дру­
гих), а вот из четырех отрезков можно образовать не один че­
тырехугольник, а много различных. Свойство жесткости треуголь­
ников очень важное, оно широко применяется в технике, в строи­
тельстве.
Поэтому вполне прав поэт Р. Сеф, который в шутливой
форме писал:
Кто ничего Кто ничего
Не замечает, Не изучает,
Тот ничего Тот вечно хнычет
Не изучает. И скучает.
Сравним, например, медиану и биссектрису треугольника. Обе
они являются отрезками, обе они соединяют вершину треуголь­
ника с какой-то точкой противоположной стороны, но медиана
делит эту сторону пополам, а биссектриса делит угол при верши­
не пополам. Сравним теперь медиану и высоту треугольника. Они
более резко различаются между собой, чем медиана и биссектри­
са. Это проявляется хотя бы в том, что медиана и биссектриса
всегда находятся внутри треугольника, а высота может прохо­
дить и вне его.
Посмотрите на числа 4, 16, 38, 10. Сравните их, что в них
общего? Пожалуй, лишь то, что все они натуральные числа и
все четные. А вот числа 1, 4, 9, 16, 25, 36 имеют более существен­
ное общее свойство: все они представляют собой квадраты после­
довательных натуральных чисел. Поэтому если нужно продол­
жить первую последовательность чисел, то после 10 можно поста­
вить любое четное число, а вот во второй после 36 можно поста­
вить лишь 49, затем 64, с тем чтобы сохранить замеченное об­
щее свойство (закономерность) этих чисел.
Выявить общее свойство данных объектов не всегда легко.
Например, по какому общему свойству (закономерности) напи­
сана следующая последовательность чисел: 16, 12, 15, 11, 14, 10?
Сравнивая эти числа попарно, замечаем: 16 — 4=12,
12 + 3=15, 15-4=11, 11+3=14, 14-4=10.
Значит, числа этой последовательности составлены так, что
4* 83