Page 102 - 1975_matematika-izium

Существует также еще одно тривиальное решение,
у которого первый член не является степенью, а разность
равна нулю.
65. Существует T�opeMa *, утвержда ю щая, что пло·
щадь любого простого м н огоугольника, вершины KOT�

рого расположены в узлах решетки, ВЫЧИС.'Iяется по фор ..
муле

где Ь - число узлов решетки, расположенных на границе
'данного н огоугольника, а с - чис о таких узлов внутри
л
м
l\шогоугольника. Следовательно, площадь многоуголь­
ника, IIзображснного на р и сунке, р а вна 7 + 42 - 1 = 48.
66. Имеем n! (n - 1 ) 1 = n[ (n - I ) ! ] 2 = ml Очевидно,
что I ! OI = 1 1 и 21 1 ! = 2! - решения данного уравнения.
Во всех остальных случаях n < т; так что если ml со­
держит неквадратный множитель > m , то р е шения ОТСУТ·
ствуют *. Далее, для т > 1 0 всегда существуют два про·
стых числа р И q, которые >m/2 и � . При этом
m
)
( m + t ) ( m + t т2 3т 5
pq � 2 2 - 2- + ·2 = Т + Т + 4" > m .
Следовательно, для т > 1 0 решений нет. Для т � 1 0 ,
кроме указанных выше двух р е шений, существует еще
только одно решение 716! = 1 0 ! .

67. Поскольку l .yb - .yc l (.уь + .ус) = / Ь - с I <
2
Ь
< (.уа) < ( + с) < (.уь + .усу, отсюда следует, что
l -v'b - .ус I < .уа < ( .уь + .ус).
[В а н Ц з и - и, А . М. М., 67, 82 (January 1 9 60) .]

101