Page 99 - 1975_matematika-izium

57. Любое целое число х можно записать в виде 3n
или 3n ± 1 . Если числа такого вида м ы подстаВИ:\1
в уравнение х 2 - 3у2 = 1 7 , то получим соответственно
3 ( 3n - 2 у 2) = 17 и 3 ( 3n2 + 2 n - у 2) = 1 6 .

Поскольку ни 1 7 , нн 1 6 н е делятся н а 3 , н а ш е ypaBHeHlle
не имеет решений в целых числах.
[Е. П. С т а р к , А. М. М., 52, 580 (ОесеmЬег 1945) .]

58. Пошольку ' ( О) = Р,
f (х) = х . q (х) + Р и f (А) = А q (А) + Р = А.
.
Следовательно, Р делится на А . Так как Р > А и Р про­
стое, А = 1 . Значит, сыну профессора исполнился 1 год.
Профессор мог выписать любой м н огочлен из бесконеч­
ного класса таких многочленов, например ХЗ - 3х2 + 3 .

59. Поместим в каждую и з точек А, В, С , А', В', С'
по частице единичной м а ссы. Пусть R - центр тяжести
тех частиц, которые находятся в точках А, В, С, а Т ­
аналогичный центр тяжести для частшJ. в точках А ' , В',
С'. Мы можем , далее, считать, что S представляет собой
м
центр тяжести систе ы их трех частиц ( l {аждая мас­
сой 2) , помещенных в точках L, М и N. Но с тем же
успехом можно считать, что S - это цt'нтр тяжести 00-

стемы из двух частиц (каждая м а ссой 3), р а СПОJro-жен­
ных в точках R и Т. Следовательно, S - это середина
отрезка RT; но, поскольку R фиксировано, а Т переме­
щается произвольным образом в плоскости Е, точка S

100