Page 94 - 1975_matematika-izium

( 1 • 2 • 4 + 2 . 4 . 8 + 3 • 6 · 1 2 + . . . )'11 =
45 • · 18 + 3 · 9 · 27 + . . .
1 · 3 · 9 + 2 · 6
=
(
= ( 1 • 2 . 4 1 3 + 23 + 33 + . . . ) )'1. (�)'I. �
=
1 • 3 . 9 ( J З + 23 + 33 + . . . ) 27 3 •
[1\'\. Б е б е р м а н, S. S. М., 49, 588 (October 1 9 49) .]
46. Оставшуюся часть доски можно полностью по­
крыть костями домино. Для ДОI<азательства надо всего
."ишь покрыть доску замкнутым путем шириной в одну
клеточку. На левом рисунке показан путь, предложеllНЫЙ
Ральфом Е. Гомори и приведенный в книге М. Гарднера
«Математические досуги» (М., изд-во «Мир», 1 9 72,
стр. 265) . Три остальных варианта также удовлетво­
ряют всем требованиям.

Цвета квадратов перемежаются вдоль всего пути.
Если мы уберем любые два квадрата противоположных
цветов, то наш путь р а зобьется на две не связанные
между собой части (или будет состоять из одной части
со свободными концами, если мы уберем два соседних
Iшадрата) . Поскольку каждая часть содержит чеl ное
число квадратов, ее (а значит, и всю доску) можно пол­
IIOСТЬЮ по крыть костями домино.
47. Это специальный случай алгебраического тож­
дества
2
а (а + Ь) (а + 2Ь) (а + 3Ь) = (а2 + З2Ь + bZ) - Ь4,
2
где а = ,З + , + , (, - основание системы счисления ) ,
а Ь = 1 , так что

Поскольку ни один коэффициент не превышает 5, ра­
Венство, сформулированное в УС.J]ОВИИ, справедливо
в любой системе счисления с основанием, большим пяти.
[Е. п. С т а р к , А. М. М., 5 . , 590 _(ОесеmЬег 1 9 44) .]

95