Page 93 - 1975_matematika-izium

42. П у сть n > 3. Простой м н огогранник с 2n реб.
рами представляет собои пирамиду, в основании кота­
рой лежит n-угольник. Если п-угольник перегнуть вдоль
диагонали так, чтобы он оказался лежащим в двух раз-

2п, п>3 2п + 1, п > ;] 6

личных плоскостях, а затем соединить его вершины пря­
мыми с точкой, не принадлежащей этим плоскостям, то
мы получим многогранник с 2п + 1 ребром.
Каждая вершина многогранника представляет собой
также вершину многогранного угла с тремя (по край­
ней мере) ребрами, а каждое ребро многогранника есть
в то же время общее ребро двух м н огогранных углов.
Многогранник с четырьмя вершинами - Э'!'о тетраэдр;
у него шесть ребер. У любого другого многогранника
число вершин больше или равно пяти. Поэтому у его
м н огогранных углов по крайней мере 5 · 3 ребер, а у него
самого - п о крайней мере ( 5 · 3 ) / 2 = 71/ ребер. Следо­
2
вательно, не существует многогранника ровно с семью
ребрами.
[Е. П. С т а р к, А. М. М., 58, 358 (МагсЬ 1 9 5 1 ) . ]
43. Поскольку
63! - 6 1 ! = ( 63 · 6 2 - 1 ) (61 ! ) = 5 . 1 1 · 7 1 (61 ! ) ,
м ы получаем 63! = 6 1 ! (mod 71 ) .
[М. М., 34, 358 (September 1 9 6 1 ) . ]

с
44. Уравнение а2 + Ь 2 + 2 = аЬ + Ьс + са эквива­
лентно уравнению (а - Ь) 2 + (Ь - с ) 2 + (с - а ) 2 = О.
Отсюда заключаем, что а = Ь = с, поскольку каждый
член обязан обратиться в нуль.
{М. С. К . lI а м к и н , М. М., 27, 287 (Мау 1 9 54) .]

94