Page 96 - 1975_matematika-izium

пришли бы к п р отиворечию с I<омментарием, которы й
дала издате.'1Ьница относительно первой догаДIШ. Следо­
вательнО, верно угадана пара С - В . Порядок А - Е ­
D - С - В следует отбросить, опять-таки учитывая ком­
ментарий к первой догадке. Таким образом, остается
и
ед н ственное возможное распределение месг Е - D ­
А - С - В, удовлетворяющее всем условиям.
[дж. Ф. Л и т ч , А . М. М . 68, 669 (August 1 9 6 1 ) .]
.
51_ З а меТIIМ сначала, что еCJШ а : Ь = с : d, то, оче­
ВlIдНО, (a + b ) : b = (c + d ) : d_ При�еняя такое преоб­
разование '{ дробим, входящим в наше уравнение, по
.nучим
1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + (2n)3 = 441
23 (Р + 23 + 3 З + • . . + nз) 242 •
Затем, применяя известную формулу для суммы кубов
натуральных ЧlIсел 1 , получим
2
(2n) (2n + 1 ) 2 . 8n2 (n + 1 )2 441 = 2 (21 )2
· ( 1 1 )
4 4 = 242 2 '
(2n + 1 )2 = (21 )2
(n + 1 ) 2 (ТТ)2 -
Отсюда ясно, что n = 1 0 . (Отрицательный квадратный
корень приводит к отрицательному n.)
52*. Если мы поместим стопку из (k - 1 ) прямо­
уго.1ЬНЫХ параллелепипедов, каждыи из которых имеет
длину 2х, на k-й горизонтаJIЬНЫЙ параллелепипед того
же вида и будем сдвигать нашу стопку до тех пор, пока
ее центр тяжести не окажется на одной вертикали
с '{р а ем этого k-ro параллелепипеда, то центр тяжести
всей конфигурации будет отстоять по ГОРИЗОНТ8JJИ от
края k-ro параллt'лепипеда на расстояние x/k.
Отсюда следует, что n костяшек домино нашей
стопки (х = 1 дюйму) можно так сдвинуть между
двумя вертикальными параллеJJЬНЫМИ плоскостями, о г -

.
I Р + 23 + . . + т З = т2(т + l )2/4. См. IIРI1меЧ<lнuе к задаче
182. - Прuм. перев.
4 3ак. 753 91