Page 104 - 1975_matematika-izium

а S = 9е. Отсюда, СКJIаДывая crроки и столбцы опреде-
лителя, получим
а Ь с а Ь с а Ь 3е а Ь е
D = d е f - d е f d е 3:, d е е S.
g h 3? 39 3:> 3е 3е 9е

[Р. д ж . У о к е р , А. М. М., 56, ЗЗ (January 1 9 49) .]

70. Существует только два м н ожества, соcrоящих
каждое из пяти различных цифр, сравнимых между со­
бой по модулю 2, а именно: О, 2, 4, 6, 8 и 1 , 3, 5, 7, 9.
Сумма цифр каждого квадрата при делении на 9 дает
остаток О, 1 , 4 или 7. Но сумма цифр первого множе­
ства при делении на 9 дает остаток 2. Значит, из цифр
этого множества нельзя составить пятизначный квадрат.
Если последняя цифра квадрата нечетная, то его пред­
последняя цифра обязана быть четной *. Однако во вто­
ром м н ожестве нет четных цифр. Следовательно, и из
l\ИфР второго множества нельзя образовать пятизначный
квадрат.
[А. М. М., 44, 248 (April 1 9 37) .]

7 1 . Впишите в данную сферу правильный додекаэдр
или икосаэдр J! опустите перпендикуляры из центра сфе­
ры на каждую грань. Постройте 60 равнобедренных тре­
угольников, у которых вершины находятся в основаниях
данных перпендикуляров и основаниями которых служат
стороны соответствующих граней. Теперь спроектируйте
из центра сферы эти треугольники на сферу. Получив­
шиеся при этом равнобедренные сферические треуголь­
lIИКИ и nудут как раз искомыми конгруэнтными кусками,
на которые следует разрезать сферу *.
[У. Р. Р э н с о м , А. М. М., 40, 1 1 4 (February 1933) .]

72. Проведем из вершины В прямую, параллельную
медиане AD и пересекающую продолжение стороны СА
в точке Е. Обозначим через М середину медианы AD и
Продолжим СМ до пересечения с ВЕ в точке Р. Очевидно,
что А - середина СЕ, а F - середина ВЕ. Поэтому А В

105