Page 109 - 1975_matematika-izium

р а вна площади треугольника А'В'С, поскольку у них
равны основания, а высота одна и та же. Кроме того,
расстояние от ТОЧIШ D до плоскости, в которой лежит
треугольник В С , не меняется при движении отрезка АВ
А
по соответствующей прямой. Поскольку у тетраэдра не
меняются площадь основания и высота, то остается неиз­
менным и его объем.
[Л. Б э н к о ф , Р. М. Е. !., 1 , 281 (November 1 9 52) .]
83. Ес и мы ограничимся первым периодом в десятич­
л
ном р а зложении числа 1/7, то получим О, 1 4 2857. Повто­
рим этот период 7 раз и разделим полученное число на 7,
причем остатка не будет *. В результате получится пер­
2
вый период десятичного р а зложения числа ( 1 /7) . Так,
0 , 1 4 2857 1 4 2857 1 4 2857 1 4 2857 1 4 2857 1 4 2857 1 4 2857 : 7 =
= 0 ,020408 1 6 3265 30 1 2 2 448979 591836 734693 877551 .
6
{Д. К Д у н к а н, М. М., 25, 224 (March 1 9 52).]
84. Если а + ь + с = О, то аЗ + ЬЗ + сЗ = 3аЬс *;
поэтому
(6х + 28) - (6х - 28) - 8 = 3 [(6х + 28) ("6х - 28) (8)]'\
48 = 6 (36х2 - 784),\
5 1 2 = 36х - 784,
2
х = 36,
2
х= + 6 .
{Ф. Е. Н е м м е р с , S. S. M., 4 1 , 291 (March 1 9 4 1 ) .]
85. Можно прокладывать путь, двигаясь «назад» от
N. Если мы рассмотрим левую половину диаграммы,
включая и центральный столбец, то при каждом шаге на­
зад у нас есть выбор между двумя возможными направ'
1
лениями, что дает нам 2 2 путей. Удвоив это число и вы­
читая 1 (чтобы не сосчитать центральный столбец дваж­
ды) , мы по.ТIучим 21 _ 3 1 = 8191 путь.
{Дж. Ф. Л и т ч , А. М. М., 68, 296 (March 1 9 6 1 ) . ]
86. Введем в пространство декартову систему коорди­
нат, и пусть А ( I, о, О) , В (О, 1, О) , С (О, 0, 1 ) и P ( x, y, Z) ­
соответственно вер ш и н ы нашего треугольника и точка

110