Page 105 - 1975_matematika-izium

"" ,,/ 1 АЕ
" 1
дi A ,, " / / '� 1 1 1

/1
// ,
/ 1
1
М I ,
,
С D В
и СЕ - медианы треугольника СВЕ, а значит, они делят
друг друга в отношении 1 : 2.
[А. Б а ч м е н , S. S. M., 50, 757 (ОесеmЬег 1950) .}

73. Р а зложим данное выражение на множители р а з­
ными способами:
a l 5 + 1 = (аЗ + 1) (a I2 - а9 + аб - аЗ + 1) =
= ( а + 1) (а2 - а + 1) (aI2 - а 9 + а б - аЗ + 1) =
= (а5 + l ) (alO - а5 + 1 ) =
= (а + 1) (а4 - аЗ + а'! - а + 1) (а 10 - а5 + 1).

Проверка показывает, что а4 - аЗ + а2 - а + 1 не де­
лится на а2 - а + 1 , следовательно, на последнее выра­
жение должно делиться alO - а5 + 1. В самом деле,
9
В
8
O
lO
a - а5 + 1 = (al - а + а ) + ( а 9 - а + а 7) ­
- � - � + � - � - � + � - � - � + � +
+ (аЗ - а2 + а) + (а2 - а + 1).
Следовательно,
а'5 + 1 = (а + 1) (а4 - аЗ + а2 - а + 1) (а2 - а + 1) Х
Х (аВ + а7 - а5 - а4 - аЗ + а + 1).

[М. М., 27, 287 (Мау 1 9 54) .]

74. Если ( N : 5) ( N : 7 ) = N , то N ( N - 3 5) = O , так что
N = 35. Иначе говоря, если данное число умножить н а
себя, то результат получится в 35 р а з больше, чем в слу-

106