Page 114 - 1975_matematika-izium

Ш,ие два члена и взяв цифру этой суммы, стоящую в раз­
ряде единиц.
В данной последовательности чередуются два нечет­
[[ыx и один четный члены. В с его существует 5 · 5 = 25
упорядоченных пар, составленных из нечетных liИфР.
Поэтому после не бо.1Jее чем З· 25 = 75 последовательных
сложений одна I1З этих нечетных пар повторится и нач­
нется новый цикл. Причем, поскольку сумм а (или р а з­
[!Ость) двух цифр единственна, эта повторившаяся пара
должна совпадать с первой нечетной п а р ой ( с которой
начинается последовательность) , а не с какой-либо из
«внутренних» нечетных пар. И в самом деле, оказывается
достаточно произвести всего 60 сложений и начнется но­
вЫЙ цикл из 60 цифр: 1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 О 7 7 4 1 5 6
1 7 8 5 3 8 1 9 О 9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 4 9 3 2
5 7 2 9 1 0 * 1 1 . . . .
Аналогичные рассуждения окажутся справедливыми
в любой системе счисления, а также не только для после­
довательности Фибоначчи, но и для любой последова­
тельности, удовлетворяющей рекуррентному соотноше-
[[ию
A +k = Аn + А.н[ + . . . + An+k-[o
n
2
98. Поско.'lbку коэффициент при х в исходном урав­
нении равен О, отсюда следует, что а + Ь + с = О. Зна­
чит, Ь + с = -а, с + а = -Ь и а + Ь = -с. Другими
словами, нам нужно найти уравнение, корнями которого
1 1 1
служат - а ' - ь и - с - величины, обратные кор-
ням исходного уравнения, взятым с противоположным
знаком. Поэтому мы должны просто записать коэффи­
циенты исходного уравнения в обратном порядке и у тех
из них, которые стоят при четных степенях х, изменить
знак. В результате получится искомое уравнение
гхЗ - qx2 - 1 = О.

[А. У э и н , S. S. M ., 48, 492 (June 1 9 48) .]
99. Ни одна из цифр, стоящих в разряде единиц у со­
множителей, не может равняться нулю. 4 · 6 · 8 = 1 9 2, а
. , а (88) 1/. = 4,4 . . . . Следова­
2 · 4 · 6 = 48. (87) 1/, = 4,4 . .
тельно, произведение 442 · 4 44 · 446 = 875266gS.
[М. М., 37, 360 (November 1 9 64) .]

1 1 5