Page 118 - 1975_matematika-izium

Сле довательно, площадь н а ибольшего т�еугольника EHD
'
р авна 8а + 3 = 5 + 2 -У13 � 1 2 ,2 1 1 1 см .
[Р. Р. Р о у , Civil Engineering - A SCE, 1 8 , 70 (Feb­
ruary 1 9 48) .]
2
1 0 8. Есл и n ( n + 2) (n + 4) (n + 6) = m2, то (n + '
4
1 6
q. 6n + ) 2 = m2 + 1 6 . Однако среди квадратов только О
'
и 9 имеют вид а2 - ; а поскольку m2 нечетно, искомый
квадрат равен 9 = (-3) ( - 1 ) ( 1 ) (3) .
[Д. Л . с и л в е р м Э н, М. М., 38, 60 (January 1 9 65) .]
1 0 9. Среднее арифметическое множество чисел, не все
из которых р а вны между собой, больше их среднего гео­
метрического; поэтому
� I + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n - 1 )
n = = >
n n
I /
> [ 1 3 . 5 . 7 . . . (2n _ I)] n .
•
Следовательно, nn > 1 · 3 · 5 · 7 · . . . (2n - 1 ) .
{Ф. Е. Н е м м е р е , S. S. M., 40, 586 (June 1 9 40) .]
1 1 0. Спроецируем стороны произвольного многоуголь ..
ника на прямую, лежащую в плоскости этого многоуголь­
lIика. Тогда сумма таких проекций, взятых с соответст­
JЗующим знаком, р а вна нулю. Возьмем теперь правиль·

• I
I
I
I
I
: so о
- - -,- .L-
IIЫЙ пятиугольник с единичной стороной и обратим вни"
мание на то, что его внешний угол равен 720. Члены же
нашей суммы представляют собой проекции сторон этого
пятиугольника на прямую, которая составляет с одной
из таких сторон угол в 50. Следовательно,
cos 50 + cos 770 + cos 1 4 90 + cos 221 о + cos 2930 = О.
[М. С. К л а м к и н, М. М., 28, 293 (Мау 1955) .]

1 1 9