Page 119 - 1975_matematika-izium

1 1 1 . В тождество
4
х 'О - х8 + хб - х + х2 - 1 = --=- xl2 - 1
-
,....
х2 + 1
ПОDставим х = 2:
210 - 2 8 + 2 6 - 2 4 + 2 2 _ 1 = 212_ 1 4096 - 1
22 + 1 -
= 8 1 9 = 9 ( 9 1 ) .
[М. М., 26, 287 (Мау 1 9 53) .]
n (n 1 )
1 1 2. Треугольные числа имеют вид :: , так что
является треугольным числом в любой системе счис­
ления. далее будем рассуждать по индукции. Легко за­
метить, что каждый член исходной последовательности
можно получить, умножив предыдущий член на основа­
ние данной системы счисления и прибавив затем 1 . Если
мы будем действовать в девятеричной системе счислеНIIЯ
и некоторый член нашей последовательности равен тре-
п (n + 1 )
угольному числу , Т О следующии член будет
u
2
n (n + 1 ) 1 (3n + ) ( 3n + 2)
9 + = \
2 2 '
то есть также есть треугольное число.
[э. А. М е р и л л, . М. М., 39, 1 7 9 (March 1 9 32) .]
А
n (n + 1 )
Вообще если м ы к числу ' записанному в си-
2
стеме с основанием (2k + 1 )2, припишем справа ЧИС.'lО
.
k(k + 1 ) , записанное в тои же системе, то получим
u
2
I
«2k + ) n + k] [(2k + I ) n + k + 1]
2
1 1 3. Если мы проведем плоскость через середины трех
ребер тетраэлра, выходящих из одной вершины, то она
отсечет малснышй тетраэдр, объем которого составляет
1/23 объема болыпогс тетраэдра (поскольку их ребра от­
носятся как 1 : ) . Объем четырех таких маленьких тет­
2
а
раэдров равен ноловине объема большого тетраэдр .
Если мы проведем еще три аналогичные плоскости,
то в результате получим многогранник, 8 граней кото­
рого представляют собой равносторонние треугольники,
причем четыре таких треугольника лежат на гранях боль-
120