Page 129 - 1975_matematika-izium

делит основание PQ на две равные части, слеДОва­
телыю, треугольник HPQ - равнобедренный, НА - бис.
8

А
сектриса угла РНЕ, а угл ы А Н Е и А Н Р равны между со·
бой.
[Н. А. К у р т, М. М., 37, 338 (November 1 9 64).]
1 3 6. Сложив второе и третье уравнения данной си-
стемы, получим
х + у + k (х + у) = 5.
Учитывая первое уравнение, находим отсюда искомое
2
значение k = 4. Для этого k имеем х = 1/з, У = /з.
1 3 7. Положим х + у = а2, х - у = а, откуда х=
a ( a + 1 ) a ( a - l )
- и У = • Поскольку при любом цело]\{
2 2
Q в числителе каждой из данных дробей стоит произведе·
ние четного и нечетного чисел, определенные т а ким об·
разом х и у представляют собой целые числа и у до влет·
воряют исходному уравнению.
[л. Е. Б а ш, А . М. М., 6 1 , 548 (October 1 9 54).]
х и у представляют собой два последовательных треу·
гольных числа.
1 3 8. Выберем на сторонах АВ, ВС и СА данного треу ..
гольника АВС соответственно точКи D, Е и F так, чтобы
AD А В = СЕ : СВ = Р : РС = 1 : 5. Возьмем затем на
А
:
стороне А С точку G так, чтобы А О = 2АР, и отметим на
DE середину Н. Теперь надо разрезать треугольник п о
линиям DE, D F и ОН. Одним и з двух искомых треуголь­
ников будет треугольник BDE. Три остальных куска
можно передвинуть в данной плоскости так, чтобы ОIlИ
образовали второй треугольник, подобный данному.
[А. Б а ч м е н . А . М М . .• 58, 1 1 2 (February 1 9 5 1 ) . ]

130