Page 133 - 1975_matematika-izium

ному, можно сложить равносторонний ВОСЬМИУГОЛЬНIIR.
Среди таких восьмиугольников максимальную П,ТJOщадь
имеет правильный восьмиугольник. Следовательно, чет�
вертая часть этого прави,IJЬНОГО восьмиугольника и пред­
ставляет собой искомый четырехугольник МaI<сималыюй
площади 8 ( -V2 + 1 ) м2• Поэтому ширмы нужно поставить
так, чтобы I{аждвя из н и х образовала со стеной и бис­
сектрисой прямого угла равносторонний треуго,IJЬНИК,
сторона которого равнялась бы длине ширмы.
[Ф. а у т о р н , N. M. M., 1 9 , 322 (March 1 9 45) . ]
Х
1
1
1 4 6. Если - + - = - 1 , то a + b = - аЬ . ПОСКО,IJЬКУ а
а ь с с
И Ь - целые числа, то с распадается в произведение, ска­
с
жем, = qr, где один сомножитель делит а, а другой де­
пит Ь, так что а = mq, Ь = рг. Поэтому mq + рг =1
с= mqpr: qr с= mр. Поскольку у всех трех чисел а, Ь, с
нет общего делителя, отличного от 1 , т взаимно просто
с r (значит, оно делит р) , а р взаимно просто с q (зна­
чит, оно делит т). Следовательно, m = р, отлуда p(q+r)=.
1 = р2 и q + r = р. Отсюда вытекает, что

а + Ь = pq + рr = р (q + г) = р2,

а - с = pq - qr = q (р - г) = q2
и
с
Ь - = рr - qr = г (р -- q) = r2•

{S. S. М., 63, 604 (October 1963) , ]
J47. Первое уравнение системы можно записать в виде

с
с
2
с ]
а
(а - Ь - ) [а + (Ь - с )2 + Ь + Ь + а = О.
Поскольку при положите,IJЬНЫХ а, Ь, с второй сомножи­
тель не может обратиться в нуль, мы получаем

Следовательно, единственное решение нашей системы·

134