Page 137 - 1975_matematika-izium

1 5 5. Биссектриса любого внутреннего yr.lJa треуголь­
ника делит противопо.IJОЖНУЮ сторону на части, пропор­
шюнальные прилежащим сторонам. Если из КЗlсой-ни-

будь внутренней точки треугольника опустить перпенди­
куляры на стороны, то суммы квадратов длин переме­
жающихся отрезков, на которые основания данных пер­
пендикуляров разбивают стороны треугольника, fудУТ
равны между собоЙ*. Допустим теперь, что все тр пер­
пендикуляра, восставленные из точек пересечения бис­
сектрис со сторонами треугольника а, Ь, с, пересекаются
в одной точке; тогда
( ь � c Y +( c � a Y + ( a � ь Y =

=(b � J 2 + C�a Y + (a � ь Y ·

н
Объединяя члены с оди а ковыми знаменателями, по.'1У-
чим

a2(b- с ) Ь2(с- а ) с2(а-Ь) = 0 '
Ь + с + с + а + а+ Ь
oТl<yдa
с
(Ь - ) (с - а) (а - Ь) (а + Ь + с)2 = О.
Поско.r:rьку по крайней мере один из первых трех сомно­
жителей равен нулю, наш треугольник равнобедренный.
[А. М. М., 46, 5 1 3 (October 1 9 39) .]
1 5 6. Если мы расположим наши числа в виде квад-
ратной таблицы
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 1 1 1 2
1 3 1 4 15 16

138