Page 139 - 1975_matematika-izium

В этой системе координаты центра вписанного круга 11
центра з а данной полуокружности равны соответственно
(г, г) и (а/2, Ь/2) , где r - радиус искомого круга, а а и
Ь - ДЛIlНЫ катетов треугольника А В С. Расстояние ме­
жду центрами равно р а зности радиусов, то есть спра­
2
ведливо соотношение (г - а/ ) 2 + ( г - Ь/2) 2 = ( с/2 -
- г) 2. Отсюда, воспользовавшись равенством а2 + Ь2 =
а
,= с2, мы получим, что r = :+- ь - с. Другими словами,

радиус и с комого круга р а вен диаметру круга, вписанного
А
в прямоугольный треугольник В С*.
[М. А. К и р х б е р г, А . М. М., 62, 444 (June 1 9 55).]
1 6 0. Если мы просуммируем все числа, стоящие ВДО.'1ь
каждой строки, столбца И.'1И диагонали, то при этом I{аж­
дое число сосчитаем четырежды. Следовательно, общая
сумма всех таких сумм равна 4 [n2 (n2 + 1 ) /2] = 2n2 (n2 +:
'+ 1 ) . Если бы существовало такое k, что 4n наших сумм
п р едставляли бы собой последовательные числа от k до
k + 4n - 1 включительно, то общая сумма равнял ась бы
2n (2k + 4n - 1 ) . Приравнивая между собой данные два
выражения, мы получили бы, что n (n2 + 1 ) = 2k + :
:+ 4n - 1 . Но слева стоит четное, а справа - нечетное
число. С.'1едовательно, нужного k не существует ни при
каком n, а это значит, что ни при каком n наши суммы
не совпадают с 4n последовательными целыми ЧИС.'1 а ми.
[Д. К. Б. М а р щ А . М. М., 62, 42 (January 1955).]
2
1 6 1 . Рассмотрим выражение 1 = (..Jз + 1) т + (."'3'­
- I)2т, которое, очевидно, представляет собой целое
число. Поскольку (..JЗ - 1 ) 2m меньше 1, 1 совпадает

140