Page 136 - 1975_matematika-izium

1 5 2. Умножив числитель и знаменатель нашей дроби
на 2'/2, получим
(8 + 2 -VИ)'/. + (5 - 2 --/I5 + з)"/1
(12 + 2 �)"I. - (7 - 2 -v'З + 5)'/1 ==
(-v'5 + 43) 3 + (-v'5 - ф) 3 2 (5 --/5+ 9 --/5) 7
= =
5
(.у7 + ,ys)з ":,, (.у7 - --/5 )3 2 (21 .у5 + .у 5 ) 13 '
[S. S. М., 55, 567 (October 1 9 55) .]
2
2
1 5 3. Пусть N = pqr. Тогда р + q2 + г = 2331 ; зна­
чит, каждое из этих простых чисел меньше (233 ) '/. < 49,
1
а все простые чис.IIа нечетны*.
Сумма всех делителей числа N равна ( 1 "+ р ) . ( 1 +
+ q) . ( 1 + г) = 1 0 560 = 1 1 · 9 60. Единственное крат­
lloe 1 1 , не превосходящее 49 и на 1 большее некоторого
2
простого числа, равно 44, так что r = 43. Поэтому р +
+ q2 = 482 и каждое из этих двух чисе.'l меlIьше
(482) '/. < 22. Далее заметим, что квадрат нечетного
чис,Т)а J\-lOжет оканчиваться ,Т)ишь на 1 , 5 И,'1И 9, так "то 11
р2 И q2 оканчиваются на 1 . Следовательно, р = 1 1 , q = 1 9
и N = 1 1 · 1 9 · 4 3 = 8987*.
1 5 4. Пусть а/Ь - раЦlIональное число. Тогда его можно
представить как сумму а повторлющихся членов гармо­
JIичеСIЮГО ряда

1
а
ь = ь 1 + ь 1 + . . . + ь '
Оставим первое слагаемое неизменным, 8 oCTa.'lbHblC
(а - 1 ) слагаемых преобразуем с помощью ТОждества

I = 1 1
n n + 1 + n (n + 1) •

Далее еще раз применим к повторяющимся слагаемым
данное тождество и будем продолжать этот процесс до
тех пор. ПОК;i все члены суммы не станут различными*.
[Г.С. а н н и н г х э м , А. М. М., 69, 435 (Мау 1 96 2) .]
Ч
Например: 3/7 = 1/7 + 1/7 + 1/7 = 1/7 + 1/8 '+ 1/56 ± 1/8 +
+ 1/56 = tf7 +. 1/8 + 1/56 + 1/9 + 1/72 + 1/57 + l/зl92<
137