Page 135 - 1975_matematika-izium

1 5 0. Результат должен делиться как на 7, так и на 1 1 :
следовательно, искомое чис.'IO равно 7 + 1 1 = 1 8 *. В об­
щем случае число k + т будет решением уравнения
(x - k ) k = ( х - m ) m.
[М. М., 33, 58 (September 1 9 59) .]
1 5 1 . Мы здесь предполагаем, что знакомство двух
людей взаимно, то есть если некий че.гювеl{ н а к ом с дру­
з
гим человеком, то и второй знаком с первым. Отождест­
вив каждого из 6 человек с некоторой вершиной окта­
эдра, мы сведем задачу к эквива.l'JентноЙ задаче: если

каждое ребро и каждая ДJlагона.I'JЬ октаэдра окрашены
произвольным образом в зеленый ИЛII красный цвет, то
нужно ДOl{азать, что в некотором треугольнике I все сто­
роны окрашены в один и тот же цвет.
Каждая вершина соединена ребром И.I'JИ диагональю
с любой другой вершиной. ИЗ пяти отрезков, соединяю ..
щих данную вершину с остальными, по крайней мере три
ДО.l'Jжны быть окрашены в одинаковый цвет. Взяв эти
три отреЗI{а, мы увидим, что возможны два случая.
1 . у двух таких отрезков концы соединены отре3IЮМ
того же цвета. В этом случае два данных отрезка и отре­
зок, соединяющий их концы, образуют нужный треУГО.1Ь­
ник.
2. Любые два из трех наших отрезков соединены от­
резком противоположного цвета. Тогда искомый треу­
ГО.l'Jьник образуют три отрезка, соединяющих концы на­
ших трех отрезков.

I Имеются в ВIIДУ только треугодьюши, вершины которых сов­
падают с вершинами октаэдра; а I{стати, ско.�ЫЮ их Bcero1 - ПРII.II.
ред.*
136