Page 131 - 1975_matematika-izium

1 4 1 . Пусть в камере под номером q ключ поворачи.
вался t раз. Тогда t равно числу делителей q. Так. ес.ли
• p:k. где Р; - отличные друг от друга
q = p�1 • р:2 • .
прост е �исла. то t = (а. + l ) ( а 2 + 1 ) . • • (а + h 1 ) . Да.
ы
Jlee, если хотя бы одно из йt нечетно, то t четно и
в IIтоге q-я камера останется запертой. Если все а; четны,
то q представляет собой квадрат, а t нечетно. Таким
обр а зом, счастливчики сидели в камерах, номера кото­
рых представляли собой точные квадраты.
{Р. М. Е. !,. 1 , 330 (Аргil 1 9 53) .]
1 4 2. допустим. напротив. что у данных 6 кругов есть
хотя бы одна общая точка. Соединим эту точку отрез­
ком с центром каждого из кругов. ПО крайней мере одна
пара таких отрезков образует между собой угол, не пре4
восходящий 600. Рассмотрим два соответствующих круга.
Тогда центр меньшего из ЭТIIХ двух кругов принадлежит

большему кругу. (Если эти два круга равны, то центр
каждого из них принадлежит второму.) Но по условию
ни у одного из данных 6 кругов центр не принадлежит
никакому из 5 остальных кругов. Получившимся проти­
воречием и завершается доказательство.
А
{Е. Л. М а г н у с о н , . М. М., 70. 569 (Мау 1 9 63) . ]
4 . Применив тождество (а - ) а +- Ь
1 3 Ь ( ) = а 2 - Ь2 ,
(
+
мы получим: (96) ( 1 0 4) = 1 0 0 - 4 ) ( 1 00 4 ) =-!
= 1 0 000 - 1 6 = 9984.
1 4 4. Требуется найти три различных целых числа.
удовлетворяющих системе уравнений
{ x + y = mz
y + z = n .\1
z + x = PYt
132