Page 146 - 1975_matematika-izium

IlOro тетраэдра, который можно п р отопкнуть сквозь ци­
линдр диаметра d, равно nd/2.
[М. М., 39, 133 (March 1966) .]

1 7 8. { ( а, n) = аll+1 - n ( а - 1 ) - а =
= а (аn - 1) - n (а - 1 ) =
-
)
= ( a - l [ a ( an l + a n-2 + • • • + 1 ) - nl·
ПОСI<ОЛЬКУ многочлен в квадратных скобках обра­
щается в нупь при а = 1, этот многочлен делится на
(а - 1 ) . Таким образом, f (а, n) делится на (а - 1 ) 2 .
1 7 9. Закон, по которому составлена наша таблица,
заключается в том, что каждый элемент равен сумме
двух других элементов, один из которых стоит непосред­
ственно над данным элементом, а второй - слева от дан­
ного элемента. Применим к нашему определителю Il-ГО
порядка операцию в ы читания столбцов (столб.) ­ i
- (столб') i- , i = n , (n - l ) , . . . , 2, а затем раЗЛОЖIIМ
I
его по первой строке. В результате мы получим опреде­
литель (n - 1 ) -го порядка, paBHbIil м и нору, который
онределяется элементом, стоящим в левом ·нижнем углу
исходного определителя. Продолжая этот процесс, мы
ПРllдем в конце концов 1{ значеНIIЮ 1. Например:

1 1 1 О О О
1
3 4 5 6 3 1 1 1 6
6 10 15 2 1 - 6 4 5 6 - 4 5 -
10 20 35 56 10 1 0 15 2 1 10 15 2 1

О О
4 1 1 = I
- � � 1 = 1 .
10 5 6

Поскольку исходная таблица симметрична относитель-
110 главной диагоналl-I, приведенное доказательство
остается справедливым и для определителей, первый
столбец которых расположен n первом столбце таб­
лицы. Только в этом случае следует вычитать не столб­
цы, а строки.

147