Page 147 - 1975_matematika-izium

1 8 0. Наша кривая третьего порядка предстаВляет
собой объединение эллипса и прямой, что станет ОЧе­
видным, если мы запишем исходное уравнение в виде

2
(х + у - 1� (2х - 2ху + 2у 2 - Х - у - 1) = О.
I3зяв на прямой х + у - 1 = О произвольную точку С ра­
uиональной координатой х, м ы обнаружим, что соответ­
ствующая координата у = 1 - х рациональна.
1 8 1 . Пусть ро, Qo и Ro - точки, в которых вписанная
окружность касается сторон треугольника Аве; тогда
РР = QQo = RRo = Р'Ро = Q'Qo = R'Ro = Р"Ро. От­
О
сюда ясно, что наша конструкция з а м кнута и что точки

8

А

Р, Q, R, Р', Q', R' лежат па некоторой окружности, кон"
центрической с вписанной.
[Х о у о р д И в с , А. М. М., 50, 391 (June 1 9 43) .]
Это ДOl{азательство проходит и для многоугольника
нечетного порядка, в IЮТОРЫЙ можно вписать окруж·
ность, а также для многоугольника нечетного порядка,
который можно деформировать, не меняя длины его
сторон, в другой м н огоугольник, обладающий вписанной
окружностью.
1 8 2. n-я группа содержит n целых чисел; следова·
тельно, количество целых чисел во всех группах от l - А
до n-Й в к лючительно равно n (n + 1 ) /2, а количестяО
чисел во всех группах до (n - 1 ) -й включительно равно
(n - l ) nI2. Эти два множества представляют собой

)48