Page 152 - 1975_matematika-izium

3
1 9 0. Посколы<у 2 1 6 = 2 · 3 3 = 8 · 2 7 = 9 · 2 4, хозяйка
купила 24 фунта.
[М . .м., 33, 1 1 8 (November 1 9 59) .]
1 9 1 . Рассмотрим м н огоугольник с n сторонами, где
n � 4. Любые четыре вершины этого м н огоугольника
определяют некоторый четырехуго.flbНИК, диагонали lЮ­
торого совпадают с двумя пересекающимися ДHaГOHa�

лями исходного n-угольника. И обратно; любые две пе­
ресекающиеся диагонали исходного n-УГОЛЬНИI<а Оl1реде­
ляют некоторый четырехугольник. Следовательно, иско-
"
мое число точек пересечеliИЯ диагонален равно с4 Р аз-
n.
умеется, некоторые точки пересечения могут между со­
бою совпасть.
[Н о р б е р т К а у Ф м а 11 11 Р. Х. к о х, А. М. М., 54, 344
(June 1 9 47) .]
1 9 2. Дано, что а + Ь + с = О и d + e + f = O . По�
этому
(а + Ь)3 = (- с)3,
а3 + ЬЗ + сз = - 3 аЬ (а + Ь) = 3аЬс.
Аналогично
3
d3 + е + тз = - 3de (d + е) = 3def.
Н3I<Онец,
аЗ + ЬЗ + СЗ а Ьс
dЗ + еЗ + 1"3 = def •
[А а р он Б а ч м Э н, S. S. М., 38, 220 (February 1938) .]
1 9 3. Пусть ! ( х) = ха + х Ь + 1 = х а + хЗk . х-а + 1. Ky�
бические корни из 1 р а вны соответственно 1 , (u ::::>

= - 1 + i � 3 и (u • Поскольку а взаимно п р осто с 3 , т о
2
2
a a 2 a 2 а
либо (U = (U, а (U- = (U , либо (U = (U . а (О- = (\Э.
В любом из этих случаев
f
2
f «U) = ( w2) = 1 + (1) + (1) = о.
153