Page 153 - 1975_matematika-izium

Следовательно, ( х - (О) (х - (0 2) = х2 + + 1 является
Х
делителем многочлена ха + хЬ + 1 .
[Х о У о р д Д. Г Р о с с м э н, S. S. М .• 45, 486 (Мау 1 9 45) .]
1 9 4. Поскольку х, у, z положительны, х > z и у > г.
Пусть х = z + и, а у = г + v; и. v > О. Уравнение
I I I
-z = х + у приведется к виду г2 = UV. Поэтому при
любом z нам нужно всего лишь р а зложить г2 в произ­
ведение двух целых положительных чисел w и v.
[М а р и о н Л. Г е й н с , N. M. M., 1 9 , 100 (November
1944) .]

1 9 5. Зафиксируем одну вершину треУГОЛЬНИI{а и от ­
разим его вместе с искомой кривой несколько раз отно­
сительно сторон, выходящих из этой вершины. При этом

м ы получим правильный шестиугольник и замкнутую
кривую, которая р а зделит этот шестиугольник на две
равновеликие части, как показано на рисунке. Поскольку
л
длина кривой минимальна, эта кривая представ я ет co�
бой окружность с центром в данной фиксированной
вершине.
[Л. М о з е р .]
1 9 6. Заметим, что
2
N = аlа:!lзЬДЬзаtО#з = аlа:!lз ' 1 002 001 =
1
= a1aA . 72 . 1 2 . 1 3 2.
Следовательно, число аtа2аз р а вно квадрату простого
числа Р, отличного от 7, 1 1 и 1 3 . Далее, а =F О, а
Ь 1 Ь ЬЗ < 1000; поэтому 1 0 < Р < 23. Следовательно, -Р
2
совпадает либо с 1 7 , л и бо с 19; а а аз = 289 либо 361;
l
2
N2 = 289 578 289, л и бо 361 722 361 . Оба эти случая дают
решение нашей задачи.
[По Н. Н а r а р а, М. М., 24, 1 0 8 (November 1 9 50) .]
154