Page 149 - 1975_matematika-izium

(01) И (02) пересекаются в точке В; ( 0 1) И ( О з) - в
точке С; а ОКРУЖНОСТИ (02) и (Оз) пересеl{аются в точ­
ке D. Отре зок ОзО I перпендикулярен СА, а отре­
ЗОК 0з02 перпендикул я рен AD; поэтому L 010З02 +
+ L CAD = 180°. В круге (01 ) L А С В = 1/2 vAB =
= L A 0 102 (поскольку 01 02 - серединный перпендику­
1
ляр к отрезку АВ) . В круге (02) L A DB = /2 vAB =
= L А 0 2О1• Далее, точки С, В, D ПО условию колли­
неарны; следовательно, треугольники A C D и А01О2 по­
добны, а L CAD = L 01A02. Отсюда следует, что
L О 1 0 20з+ L О IА02 = 1 8 0°, а четырехугольник 0.ОЗ02.'1
вписан в некоторый круг.
)
[А. М. М., 72, 547 (Мау 1 9 65 . ]
1 8 5. Возьмем следующие четыре перестановки из че­
тырех букв: Р. (xyzw) , P2 (ZWXY) , Рз (WZУХ) и P4(yxwz).
Каждый игрок встречается ровно один раз с каждым
из остальных 1 5 игроков; поэтому соревнование должно
1
состоять из 5/з = 5 туров. Расположим иющиалы 16
учаСТШIIШВ в виде квадратной таблицы (матрицы) 4Х4.
Затем выпишем еще три матрицы, оставив первый стол­
бец неизменным и применив ко второму столбцу первой
матрицы последовательно перестановки f 4, Рз, Р2, 1{
третьему столбцу - перестановки Р2, Р4, РЗ и, н а l юнец,
к четвертому столбцу - перестановки Рз, Р2, Р 4. Таким
образом, мы получим

AEIM АРКР АН/О AGLN
BF/N BELO BGIP ВНКМ
сако CHIN CFLM СЕ/Р
DHLP DG/M DEKN DFlO
Четверки в первых четырех турах задаются с помощью
строк этих четырех матриц; в пятом же туре четверки
задаются с помощью столбцов первой JVlатрицы. Заме­
тим, что если бы мы данными буквами обозначили не­
которые числа, а затем раскрыли определитель первой
матрицы, то обнаружили бы, что элементы, ПРОИЗJJeдения
которых берутся со знаком плюс, как раз и образуют
строки трех остальных м а триц.
Если м ы захотим поступить подобным же образом
с теми элементами, произведения которых берутся со
знаком минус, то нам нужно для этого применить по-

J50