Page 176 - ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ IV-VI классы

В арабскую литературу алгоритм ложного положения про­
ник под названием «правила двух ошибок». Вот как решал,
например, ал-Хорезми задачу № 64. Если бы искомое число
равнялось 12, то остаток равнялся бы:
12---- L .12----L. 12 = 5,
3 4

то есть на 3 меньше 8. Если же предположить, что неизвестное
равно 24, то остаток будет равен:
24---- -- 24------ 24 = 10,
3 4
то есть на 2 больше 8.
Согласно правилу двух ложных положений, ал-Хорезми на­
ходит истинное значение неизвестного
х=..3_-..?4 + 2. 12_д19_Ь
3 + 2 5
О «правиле двух ошибок» писали на арабском языке спе­
циальные сочинения, в которых рассматривали и те случаи, ко­
гда истинное значение неизвестного х не содержится между
«нормами» Xi и %2, иначе говоря, когда оба предположения при­
водят к «избыткам» или оба — к «недостаткам». В таких случа­
ях в формуле (2) следует, учитывая знаки, брать в числителе
не сумму, а разность указанных произведений, в знаменателе
же — разность «избытков» или «недостатков».
Из арабской литературы «правило» перешло в XII в. в евро­
пейскую математическую литературу, где впоследствии играло
важную роль вплоть до XVIII в. Леонардо Фибоначчи посвятил
ему целую главу в своей «Книге абака», в которой впервые
встречаются слова «минус» и «плюс», однако не в смысле дейст­
вий, вычитания и сложения, а именно в смысле «недостатка» и
«избытка». Наряду со словесным доказательством формулы (2),
Фибоначчи, не пользовавшийся отрицательными числами, дока­
зывает «правило» для случаев двух ошибок с избытком и двух
ошибок с недостатком.
В латинских математических сочинениях средневековья пра­
вило получило название regula duorum falsorum («правило двух
фальшивых»). Отсюда название «фальшивое правило», встречае­
мое в старых русских руководствах.
Приведем, например, следующую задачу и ее решение из
«Арифметики» Л. Магницкого.
Задача 33. «Вопросил некто некоего учителя, сколько
имеешь учеников у себя, так как хочу отдать сына к тебе в уче­
ние. Учитель ответил: если ко мне придет учеников еще столько
же, сколько имею и полстолько и четвертая часть и твой сын,
тогда будет у меня учеников 100. Сколько было у учителя учени­
ков?»
175