Page 108 - УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ
P. 108
8.1. Ус ло в ия : а) 1) Путешественник проехал автобусом и по железной
дороге 600 км. Два объекта: путь автобусом и путь по железной дороге; отно
шение — их сумма равна 600. 2) Автобусом он проехал в 4 раза меньше, чем по
железной дороге. Два тех' же объекта. Отношение — частное равно 4. 3) Ско
рость автобуса 30 км/ч. Один объект — скорость, характеристика — 30 км/ч.
4) Скорость по железной дороге 32 км/ч. Одни объект — скорость, характе
ристика — 32 км/ч.
б) I) ABCD — трапеция. Один объект, характеристика качественная; 2) Бо
ковая сторона трапеции равна 15 см. Один объект, характеристика— 15 см;
3) Угол при большем основании 60°. Один объект, характеристика — 60°;
4) ABCD описана около круга. Два объекта — трапеция и круг; отношение:
первый объект описан около второго.
8.2. а) Ус ло в и я : I) д ЛВС — равнобедренный (АС —ВС); 2) ADXBC,
3) ВЕХ АС; 4) CF±AB. Т р е б о в а н и я : установить, какое из трех неравенств
может быть истинным: !) AD>AB; 2) ВЕ~>АВ; 3) CF>AB.
б) У с л о в и я: 1) А = (х‘ — Зх2+ I):(лг2 — х~ 1).
2 ) В=(х-\0)(х+1\).
Т р е б о в а н и е . Найти А — В.
8.3. 1 -й ш аг — раскрыть скобки, 2 -й ш а г — умножить обе части нера
венства на общий знаменатель, 3-й ш аг — перенести все члены с х в левую
часть неравенства, а остальные — в правую часть, 4-й ш аг — сделать при*
ведение подобных членов, 5-й ш аг — разделить обе части неравенства на
коэффициент при х.
8.4. а) Надо использовать эвристику о разбиении сложной задачи на более
простые задачи. Разбиваем задачу на три следующие: 1) найти расстояние от
середины стороны АВ до MN (это средняя линия дЛЗЛ/, где BN —10 см);
2) найти расстояние от середины стороны АС до MN' (средняя линия A ACM,
где СМ = 8 см); 3) найти расстояние от середины ВС до MN (средняя линия
трапеции, основания которой равны 10 см и 8 см).
б Введем вспомогательные элементы: проводим из точки D середины АВ
DE.LAC и DFJ-BC, откладываем = DF = -^-ha. Тогда можно по
строить вспомогательные прямоугольные треугольники CDE и CDF, где
CD — заданная медиана. Затем .продолжаем CD н откладываем DK — CD.
Через точку К проводим KA\\CF и КВ\\СЕ до пересечения с продолжениями
CF и СЕ в точках А и В. д ABC — искомый.
в) Искомая сумма равна сумме площадей треугольников АСВ и DEF
Площадь каждого из них равна следовательно, искомая сумма равна ab
Использована эвристика о замене данной задачи другой, ейравносильной.
г) Используем эвристику о разбиении области задачи на части. Рассматри
ваем решение уравнения в следующих промежутках:
1) * < 0 . Левая часть уравнения положительна, поэтому в этом промежутке
нет решений.
2 )0 ^ - t< L Преобразуем'уравнение: * l2 + .v8(i — *)+(! — *5)—0. Все сла
гаемые левой части положительны, поэтому нет решений.
3) x ^ i . Преобразуем выражение так: Jt9(.v3— !)-f ,v5 (.v3— l)-f ! =0.
Отве т: уравнение не имеет решений.
х х
д) Составляем уравнение: — —= — ^— 10.
12 —- 1 0 —-
5 3
е) Заменяем данную задачу геометрической; хорды КР и LQ окружности
V I . КХ LX п KQ LP
пересекаются в точке X. Известно, что -гт-= -гг* • Доказать, что -гг-=-77—»
- i / t / V\ V 2 V 1 v 2
где V\a V2— постоянные числа.
Использованы эвристики замены и введения вспомогательных элементов.
9.1, 32 треугольника, 6 квадратов, 4 трапеции, 8 параллелограммов.
9.2. Число 16 имеет пять делителей: 1, 2, 4, 8. 16; является квадратом
числа 4 и четвертой степенью числа 2; равно сумме четырех нечетных чисел;
16=1+ 3 + 5 + 7.
107
