Page 22 - УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

Среди свойств какого-либо объекта
имеются с у щ е с т в е н н ы е и н е с у щ е ­
с т в е н н ы е для его определения. Свойство
является существенным, если оно присуще
этому объекту и без него оно не может
существовать. Несущественные свойства —
это обычно случайные, их отсутствие, как
правило, не влияет на существование объек­
та. Заметим, что при решении конкретных
задач несущественные вообще свойства
объектов могут иметь и существенное зна- Рис-3

чение для решения данной задачи.
Рассмотрим, например, равнобедренный треугольник, изобра­
женный на рис. 3. Его свойства: 1) стороны треугольника АВ и
В С равны; 2) медиана BD перпендикулярна основанию АС и де­
лит угол В пополам — это существенные свойства этого тре­
угольника. А вот свойства: 3) основание АС равнобедренного
треугольника ABC горизонтально или 4) вершина равнобедрен­
ного треугольника обозначена буквой В — являются н е с у щ е ­
с т в е н н ы м и . Если мы как-то повернем этот треугольник и его
основание при этом окажется расположено не горизонтально
или обозначим вершину какой-то другой буквой, то ведь тре­
угольник не перестанет быть равнобедренным.
Поэтому, чтобы понимать, что это за объект, достаточно знать
его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется
понятие об этом объекте. Следовательно, понятие — это целост­
ная совокупность суждений о существенных свойствах соответ­
ствующего объекта. Эта совокупность взаимосвязанных свойств
объекта (поэтому она называется целостной) называется содер­
жанием понятия об этом объекте.
Заметим, что когда говорят о математическом объекте, то
обычно имеют в виду все множество объектов, обозначаемых од­
ним термином (названием). Так, когда говорят о математическом
объекте — треугольнике, 'то имеют в виду все геометрические
фигуры, являющиеся треугольниками. Множество всех треуголь­
ников составляет объем понятия о треугольнике. Точно так же
множество всех натуральных чисел составляет объем понятий
о натуральном числе. Следовательно, объем понятия — это
множество всех объектов, обозначаемых одним и тем же тер­
мином.
Итак, всякое понятие имеет определенный объем и содер­
жание. Они взаимосвязаны: чем больше объем понятия' тем
меньше его содержание, и наоборот: чем меньше объем, тем боль­
ше содержание понятия. Так, например, объем понятия «равно­
бедренный треугольник» меньше объема понятия «треугольник»,
ибо в объем первого понятия входят не все треугольники, а лишь
равнобедренные. А вот содержание первого понятия, очевидно,
больше содержания второго, ибо равнобедренный треугольник
21