Page 24 - УЧИТЕСЬ УЧИТЬСЯ МАТЕМАТИКЕ

ником: нужно взять три точки, не лежащие на одной прямой,
и соединить каждую их пару отрезком. Такое определение на­
зывается генетическим (от слова генезис — происхождение). Вот
еще пример генетического определения: «Симметрией относитель­
но точки называется такое преобразование фигуры F в фигу­
ру F', при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку
X' фигуры F ’, построенной следующим образом: на продолжении
отревка ОХ за точку О откладывается отрезок ОХ', равный ОХ».
Здесь в качестве видовых отличий преобразования симметрии
относительно точки от других видов преобразований указан спо­
соб построения точек фигуры F', симметричной фигуре F от­
носительно точки О.
Встречаются в математике и такие определения, в которых
указывается, как можно получить объекты определяемого поня­
тия один за другим по порядку. Например, определение ариф­
метической прогрессии дается таким образом: «Числовая после­
довательность, каждый член которой, начиная со второго, равен
предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом,
называется арифметической прогрессией». Здесь определяемое
понятие — арифметическая прогрессия, родовое понятие — чис­
ловая последовательность, в качестве видового отличия ука­
зан способ получения всех членов прогрессии, начиная со вто­
рого, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо
к предшествующему члену прибавить одно и то же число. Это
определение можно записать в виде следующей формулы:
а„ — ап-\-М, где 2.
Такое определение называется индуктивным (от слова индук­
ция — наведение на умозаключение от частного к общему) или
рекуррентным (от слова рекурсия — возвращение).
Однако не все математические понятия могут быть логически
определены указанными выше способами. Действительно, каждое
определение математического понятия сводит определяемое по­
нятие к более широкому (более общему, т. е. имеющему больший
объем) родовому понятию, определение родового понятия сводит
его к еще более широкому понятию и т. д. Очевидно, что этот
процесс сведения одних понятий к более широким, более общим
понятиям должен иметь конец, он не может быть бесконечным.
Иными словами, в конечном итоге определения понятий мы долж­
ны прийти к таким понятиям, которые уже не сводимы к другим,
т. е. они логически не определяемы. Такие понятия в математике
называются первичными или основными.
Например, определяя параллелограмм, мы сводим его к по­
нятию четырехугольника, определяя четырехугольник, мы сводим
его к понятию многоугольника, затем к понятию геометрической
фигуры, которая сводится при определении к понятию точки.
Понятие точки уже является не определяемым, т. е. первичным.
Первичными понятиями в математике, кроме точки, являются
23